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Identidades matemáticas sobre la función PI.

Este día daré la demostración de 2 propiedades que tiene la función Pi junto con otra función que tiene un significado o una interpretación maravillosa y que implica identidades muy hermosas, (demostraré las siguientes propiedades asumiendo que el lector conoce y comprende la función Pi contadora de números primos)
Ahora para comenzar definamos una función con la capacidad de contar números compuestos, suena contradictorio pero una vez sabiendo que se relaciona con la función Pi suena increíble; hora, qué pasaría si sumamos la función Pi con la función que cuenta números compuestos de la siguiente manera:


Ahora como sabemos un intervalo de números naturales se compone por número primos y números compuestos. Si el conjunto de números naturales desde el 6 hasta un número entero positivo x; entonces todo ese intervalo construido por números estará compuesto por numeros primos y números compuestos para ser más exactos si construimos una tabla de valores de un conjunto de números y tachamos los compuestos y los primos veremos esto:


Por consiguiente debemos pintar los numeros primos y compuestos; contaremos de color rojo los primos y azul los compuestos, y queremos averiguar cuantos números quedan sin ser pintados del 1 al 16, quedarían así:




Finalmente para demostrarlo en general es muy fácil, solamente se escribe una tabla del 1 a la de un valor entero positivo llamado n y tachamos todos los primos y compuestos; siempre quedan dos valores el 1 y el número de entrada, en conclusión de manera más formal podemos definir y decir qué:



Y es súper fácil de probar aún cuando la entrada tiene un valor especial como un valor primo o compuesto; siempre es el mismo valor de entrada menos 2. Ahora esto es solo 1 de los 3 identidades que puedo probar; probaremos la segunda la cual es más fácil usando.
 

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la funcion phi que calcula la cantidad de numeros coprimos anteriores a n