la funcion phi que calcula la cantidad de numeros coprimos anteriores a n

para entender como calcular los numeros coprimos anteriores o menores que n primero vamos a ver unos ejemplos

si queremos calcular phi(24) es mas facil porque solo tachamos los numeros primos y en total serian 8 numeros coprimos con 24 por lo tanto un ejemplo menos sencillo y es en donde se puede ver mejor el procedimiento que se lleva a cabo es con el numero 60 calcular phi(60) es mas dificil pero si pensamos bien sabemos que solo tenemos restar la cantidad de numeros que tienen un factor en comun con 60 por lo tanto quedaria asi

$$60-30-20-12$$

le restamos 30 porque hay 30 numeros que tienen un factor de 2 en comun con 60, le restamos 20 porque hay 20 numeros con un factor de 3 en comun con 60 , le restamos 12 porque hay 12 numeros con un factor de 5 en comun con 60 ahora ahy que sumarle las siguientes cantidades

$$60-30-20-12+10+4+6$$

porque hay que sumarles eso? porque cuando le restamos numeros a 60 eso se interpreta como la cantidad de numeros tachados que tienen factores primos en comun con 60 por lo tanto le sumamos 10 porque han havido 10 numeros que hemos tachado de mas ahora aqui probablemente venga la parte mas dificil de entender y esque ahora ahy que restar unos ultimos numeros para terminar de calcular phi(60) por lo tanto el resultado quedaria asi

$$\phi \left(60\right)=60-30-20-12+10+4+6-2-3-5=16$$

la razon por la que restamos esos numeros es muy simple pues como sumamos no nos dimos cuenta que sumamos mas de lo que debiamos por lo que ahora es facil saber porque se hizo eso ahora vamos a definir una funcion que nos ayudara a generalizar la funcion phi y es la funcion de möbius que se define de la siguiente manera

$$\mu \left(1\right)=1$$

$$\mu \left(n\right)=0\mathrm{si}\mathrm{y}\mathrm{solo}\mathrm{si}\mathrm{n}\mathrm{puede}\mathrm{ser}\mathrm{dividido}\mathrm{por}\mathrm{un}\mathrm{numero}\mathrm{al}\mathrm{cuadrado}\mathrm{mayor}\mathrm{que}1$$

$$\mu \left(n\right)={(-1)}^k\mathrm{si}\mathrm{n}\mathrm{es}\mathrm{el}\mathrm{producto}\mathrm{de}\mathrm{k}\mathrm{numeros}\mathrm{primos}\mathrm{distintos}$$

para calcular la funcion phi en funcion de möbius se define de la siguiente manera

$$\phi \left(n\right)=\sum _{d\mid n}\left(\frac{n}{d}\right)\mu \left(d\right)=\sum _{d\mid n}d\mu \left(\frac{n}{d}\right)$$

la demostracion de esta definicion es muy complicada por lo que no podre demostrarlo en esta ocasion , ahora veamos dos propiedades que nos ayudaran mucho para definir de otra manera la funcion phi

$$\phi \left(p\right)=p-1\mathrm{donde}p\mathrm{es}\mathrm{un}\mathrm{numero}\mathrm{primo}$$

esta propiedad es muy facil de demostrar ya que como p es un numero primo todos los numeros anteriores a el son numeros coprimos con p y como hay exactamente p-1 numeros anteriores o menores que p por lo tanto phi(p)=p-1

otra propiedad muy importante es la siguiente siempre relacionando la funcion phi con los numeros primos

$$\phi \left(p^k\right)=p^{k-1}(p-1)\mathrm{donde}p\mathrm{es}\mathrm{un}\mathrm{numero}\mathrm{primo}$$

esta propiedad parece dificil de demostrar pero enrealidad es mas facil de lo que parece recordemos como calculamos phi(60) le restamos a 60 primero los numeros que tenian factores primos en comun con 60 verdad pues en este caso aremos lo mismo sabemos que un numero tendra un factor en comun con p^k si y solo si es multiplo de p por lo que si pensamos bien existen p^k-1 numeros que tienen un factor en comun con p^k por lo que si le restamos 

$$\phi \left(p^k\right)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$$

si y solo si p es un numero primo

perfecto ahora solo hay que demostrar una propiedad mas y podemos definir de manera general la funcion phi, la propiedad es la siguiente

$$\mathrm{si}\mathrm{m}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{son}\mathrm{primos}\mathrm{entonces}\phi \left(mn\right)=\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)$$

para demostrar esta propiedad es muy facil solamente tomamos la funcion phi de mn y utilizamos la definicion de la funcion phi en funcion de möbius y obtendriamos lo siguiente

$$\phi \left(mn\right)=mn-m-n+1=(m-1)(n-1)=\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)$$

y si usamos induccion y asemos que en vez de que sean solamente dos numeros primos hacemos que sean un conjunto de numeros primos la propiedad funciona aun 

por lo que gracias a eso es posible demostrar la siguiente propiedad

$$\mathrm{por}\mathrm{el}\mathrm{teorema}\mathrm{fundamental}\mathrm{de}\mathrm{la}\mathrm{aritmetica}\mathrm{se}\mathrm{tiene}\mathrm{lo}\mathrm{siguiente}n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{{\mathrm{a}}_3}...p_m^{a_m}$$

$$\mathrm{donde}\mathrm{los}\mathrm{numeros}{a}_1,a_2,...a_n\mathrm{son}\mathrm{numeros}\mathrm{enteros}$$

$$\mathrm{donde}\mathrm{los}\mathrm{numeros}{a}_1,a_2,...a_n\mathrm{son}\mathrm{numeros}\mathrm{enteros}\mathrm{y}\mathrm{los}\mathrm{numeros}{p}_1,p_2,...p_m\mathrm{son}\mathrm{numeros}\mathrm{primos}$$

con esta definicion y con la propiedad anterior se obtiene la siguiente definicion general de la funcion phi

$$\phi \left(n\right)=\prod _{p_i\mid n}{p}_i^{a_i-1}(p_i-1)$$

y eso ha sido todo por mi parte muchas gracias por su atencion

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