calcular coseno de 72 grados utilizando polinomios,teorema de la raiz racional y el metodo de los divisores de newton

hola en este dia encontraremos el valor de el coseno de 72 grados ya que existe una forma de obtener este valor utilizando las formulas de angulo doble,medio y los conceptos de angulos suplementarios y ademas utilizaremos el teorema de la raiz racional y el metodo de los divisores de newton, puede buscar en mi blog el teorema de la raiz racional y tambien el metodo de los divisores de newton por lo tanto comencemos 

primero lo que aremos sera lo siguiente denotaremos coseno de 72 grados como

$$\displaystyle cos( \theta )$$

bien ahora lo que aremos sera encontrar el angulo suplementario de coseno de 36 grados esto se hace para poder encontrar una ecuacion,normalmente en ejercisios primero se plantea una ecuacion y luego se busca la solucion pero ahora sera lo mismo solo que trataremos de deducir una ecuacion podemos checar o verificar que el angulo suplementario a coseno de 36 grados es -cos(144) por lo que en funcion de la notacion que utilizamos al principio se veria de la siguiente manera

$$\displaystyle cos\left(\frac{\theta }{2}\right) +cos( 2\theta ) =0$$

muy bien ahora que hemos creado una ecuacion con ayuda de el concepto de angulo suplementario denotaremos las formulas de coseno de angulo medio y coseno de doble angulo

$$\displaystyle cos\left(\frac{\theta }{2}\right) =\pm \sqrt{\frac{1+cos( \theta )}{2}}$$

$$\displaystyle cos( 2\theta ) =2cos^{2}( \theta ) -1$$

bien ahora sustituyendo en la ecuacion que teniamos nos quedaria algo como lo siguiente

$$\displaystyle 2\left( 2cos^{2}( \theta ) -1\right)^{2} -1=cos( \theta )$$

como tambien puede observar he omitido los pasos de como llege a esto pero no se preocupe que usted mismo puede verificar que es cierto lo anterior que he mostrado,bien ahora lo que aremos sera el siguiente cambio de variable

$$\displaystyle cos( \theta ) =x$$

$$\displaystyle \Rightarrow 2\left( 2x^{2} -1\right)^{2} -1=x$$

por lo que ahora desarrollaremos el binomio y aremos los calculos necesarios y nos quedaria asi

$$\displaystyle 8x^{4} -8x^{2} -x+1=x$$

bien ahora usaremos el teorema de la raiz racional para deducir las posibles raices racionales de el polinomio de el lado izquierdo por lo que los siguientes valores podrian ser los posibles zeros de el polinomio

$$\displaystyle x=\pm \frac{1}{8} ,\pm \frac{1}{4} ,\pm \frac{1}{2}, \pm 1$$

utilizando el metodo de los divisores de newton podemos descartar valores y encontrando las raices de el polinomio de el lado izquierdo podemos deducir que

$$\displaystyle ( x-1)( 2x+1)\left( 4x^{2} +2x-1\right) =x$$

bien ahora lo que aremos sera descartar valores para el valor de coseno de 72 grados por lo visto no puede ser igual a 1 ni igual a -(1/2) lo que el valor de coseno de 72 debe ser una raiz de el polinomio 

$$\displaystyle 4x^{2} +2x-1$$

y como el coseno de 72 grados debe ser positivo descartando la raiz negativa y obteniendo la raiz positiva podemos terminar deduciendo que 

$$\displaystyle cos( 72 ) =\frac{\sqrt{5} -1}{4}$$

por lo que hemos terminado espero que le haya gustado y servido muchisimo cualquier sugerencia o duda dejemela en los comentarios dele like a nuestra pagina de facebook y siganos tambien en twitter yo soy matevlog un saludo y hasta la proxima