teorema de la raiz racional y el metodo de divisores de newton

  

hola anteriormente en mis artículos he estado utilizando el teorema de la raíz racional,en mis artículos solamente he utilizado no lo he desmostrado y ya es hora que le dedique unos cuantos artículos por lo tanto este seria el primero o una introducción a el teorema de la raíz racional,probablemente en el ultimo articulo referente a este tema daré la conclusión y para que sirve en realidad, aclarando vamos a conocer mejor el teorema de la raíz racional.

comenzando tenemos el siguiente polinomio

$$q\left( t \right) ={ c }_{ n }{ t }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }t+{ c }_{ 0 }$$

ahora nos preguntamos que pasaría si tuviera raíces racionales? que propiedad podriamos deducir al suponer que tiene una raíz racional un polinomio? para comenzar se tiene que suponer que tiene raíces racionales esto se puede lograr haciendo el cambio

$$x=\frac { a }{ b }$$

después se evalúa en el polinomio

$$\Rightarrow q\left( \frac { a }{ b }  \right) =0$$

$$\Rightarrow { c }_{ n }{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }\left( \frac { a }{ b }  \right) +{ c }_{ 0 }=0$$

a partir de este punto multiplicamos toda la ecuación por

$$\Rightarrow { b }^{ n }\left( { c }_{ n }{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }\left( \frac { a }{ b }  \right) +{ c }_{ 0 }=0 \right)$$

$$\Rightarrow { c }_{ n }{ a }^{ n }+{ c }_{ n-1 }b{ a }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ b }^{ 2 }{ a }^{ n-2 }+\dots +{ c }_{ 1 }a{ b }^{ n-1 }+{ c }_{ 0 }{ b }^{ n }=0$$

parece muy feo y engorroso pero es algo que debe cumplir cualquier polinomio que tenga raíces racionales, ahora vamos a demostrar una afirmación

afirmación:si el polinomio tiene una raíz racional como

$$x=\frac { a }{ b }$$

entonces se puede afirmar que

$$b|{ c }_{ n }$$

$$a|{ c }_{ 0 }$$

$$mcd\left( a,b \right) =1$$

prueba de la afirmación:tomamos las propiedades anteriormente mencionadas y ahora tenemos que

$$\Rightarrow { c }_{ n }{ a }^{ n }+{ c }_{ n-1 }b{ a }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ b }^{ 2 }{ a }^{ n-2 }+\dots +{ c }_{ 1 }a{ b }^{ n-1 }+{ c }_{ 0 }{ b }^{ n }=0$$

ahora deducimos las dos siguientes ecuaciones

$$\Rightarrow b\left( { c }_{ n-1 }{ a }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ b }{ a }^{ n-2 }+\dots +{ c }_{ 1 }a{ b }^{ n-2 }+{ c }_{ 0 }{ b }^{ n-1 } \right) =-{ c }_{ n }{ a }^{ n }$$

$$\Rightarrow a\left( { c }_{ n }{ a }^{ n-1 }+{ c }_{ n-1 }b{ a }^{ n-2 }+\dots { c }_{ 1 }{ b }^{ n-1 } \right) =-{ c }_{ 0 }{ b }^{ n }$$

a partir de este resultado se deduce que

$$\Rightarrow a|{ c }_{ 0 }\quad ,\quad b|{ c }_{ n }$$

bien por lo tanto hemos terminado de deducir las condiciones que hay que tener en cuenta para buscar posibles raíces racionales de un polinomio.

ahora bien esto no es todo ya que también hay un algoritmo que filtra las posibles raíces y hace que el polinomio se evalué para un numero racional,este método,procedimiento o algoritmo es conocido como el método de los divisores de newton,sea q(t) el siguiente polinomio

$$q\left( t \right) ={ c }_{ n }{ t }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }t+{ c }_{ 0 }$$

y sea la siguiente fracción una posible raíz racional

$$x=\frac { a }{ b }$$

ahora vamos a ordenar los coeficientes de el polinomio de la siguiente manera

ahora calcularemos el siguiente numero

$${ s }_{ 0 }=\frac { { c }_{ 0 } }{ a }$$

y comenzaremos a llenar una tabla de la siguiente manera

después para seguir rellenando la tabla se tiene que efectuar la siguiente división

$$\frac { { c }_{ 1 }+b{ s }_{ 0 } }{ a }$$

y por lo tanto la anterior fracción es igual a

$$\frac { { c }_{ 1 }+b{ s }_{ 0 } }{ a } ={ s }_{ 1 }$$

y siguiendo rellenando la tabla se tiene que

 después para seguir rellenando la tabla se tiene que efectuar la siguiente división

$$\frac { { c }_{ 1 }+b{ s }_{ 0 } }{ a }$$

y por lo tanto la anterior fracción es igual a

$$\frac { { c }_{ 1 }+b{ s }_{ 0 } }{ a } ={ s }_{ 1 }$$

bien ahora podemos deducir mas generalmente que

$${ s }_{ i }=\frac { { c }_{ i }+b{ s }_{ i-1 } }{ a }$$

si para algún numero i la anterior expresión deja de ser un entero deje de rellenar la tabla ya que eso nos dice que la fracción no es una raíz ,es decir si la fracción es una raíz todos los valores de

$${ s }_{ i }$$

son enteros, bien ahora otra condición que se debe cumplir para que la fracción sea una raíz es la siguiente

$${ c }_{ n }+b{ s }_{ n-1 }=0$$

bien ahora vamos a conocer mas a profundidad este método,primero se define un polinomio como

$$q\left( t \right) ={ c }_{ n }{ t }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }t+{ c }_{ 0 }$$

si suponemos que tiene una raíz racional se tiene que el polinomio puede factorizarse de la siguiente manera

$$ { c }_{ n }{ t }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }t+{ c }_{ 0 }=\left( bt-a \right) \left( { r }_{ 0 }+{ r }_{ 1 }t+\dots +{ r }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }+{ r }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 } \right)$$

ahora lo que haremos sera multiplicar dos veces por menos 1 y así la igualdad se sostiene

$${ c }_{ n }{ t }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 }+{ c }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }\dots { c }_{ 1 }t+{ c }_{ 0 }=-\left( bt-a \right) \left( { -r }_{ 0 }-{ r }_{ 1 }t-\dots -{ r }_{ n-2 }{ t }^{ n-2 }-{ r }_{ n-1 }{ t }^{ n-1 } \right)$$

por lo tanto encontrando tenemos que

$${ c }_{ i }=-b{ r }_{ i-1 }+a{ r }_{ i }$$

$$\Rightarrow \frac { { c }_{ i }+b{ r }_{ i-1 } }{ a } ={ r }_{ i }$$

bien que significa lo que acabamos de encontrar pues bueno lo que acabamos de encontrar es principalmente para lo que en mi opinión sirve o fue creado el método de newton que es principalmente en que si una fracción es una raíz de un polinomio entonces existen 2 factores el lineal y otro factor el cual es al que se le tiene que encontrar los coeficientes y por lo tanto así es como funciona el método de newton encuentra los coeficientes de el factor, lógicamente si no tiene una raíz racional no cumplirá las anteriores condiciones y quedara en conclusión que la fracción no es una raíz (cualquier duda escríbame en los comentarios),espero le haya gustado síganos en Facebook y twitter me despido yo soy matevlog y hasta la próxima un saludo