localización de raíces enteras usando aritmética modular
como primer paso vamos a definir nuestro polinomio
$${ t }^{ 2 }-9t-36$$
ahora vamos a resolver la siguiente congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod8 \right)$$
las soluciones de esta congruencia son las mismas que las de la siguiente congruencia
$${ t }^{ 2 }-t-4\equiv 0\left( mod8 \right)$$
ahora veamos cuales son los 2 primeros valores de t positivos tal que cumplen la congruencia, si checamos nos damos cuenta que los primeros valores de t que cumplen las congruencia son 4 y 5 por lo que se deduce a partir de estos valores que
$$t\equiv 4\left( mod8 \right)$$
$$t\equiv 5\left( mod8 \right)$$
bien ahora vamos a solucionar esta otra congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod5 \right)$$
que si checamos nos damos cuenta que la primera solución de t es 4 por lo que se deduce que
$$t\equiv 3\left( mod5 \right)$$
ahora lo que haremos con ayuda de los anteriores resultados sera resolver esta congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod\quad 40 \right)$$
lo que haré sera tomar una solución por cada congruencia anteriormente resuelta, en pocas palabras se tendrán que resolver los siguientes congruencias
$$t\equiv 4\left( mod\quad 8 \right)$$
$$t\equiv 3\left( mod\quad 5 \right)$$
usando el teorema del residuo chino que próximamente traeré el que es, la demostración y para que sirve por el momento con el anterior sistema se tiene que
$$t\equiv -3\left( mod\quad 40 \right)$$
ahora para la congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod\quad 8 \right)$$
se tiene que un conjunto de las soluciones es
$$t\equiv 4\left( mod\quad 8 \right)$$
y una solución es t igual a 12,
ahora checamos la ultima congruencia que fue resuelta usando el teorema chino del resto se tiene que un conjunto solución de esa congruencia es
$$t\equiv -3\left( mod\quad 40 \right)$$
por lo que se deduce que t igual a menos 3 es una solución, en conclusión si checamos bien 12 y menos 3 son raíces de el polinomio
$${ t }^{ 2 }-9t-36$$
le recomiendo que saque sus propias conclusiones y deducciones sobre este método para deducir si un polinomio tiene raíces enteras y calcularlas usando este mismo método eso ha sido todo por mi síganos en facebook y twitter muchas gracias por ver
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod8 \right)$$
las soluciones de esta congruencia son las mismas que las de la siguiente congruencia
$${ t }^{ 2 }-t-4\equiv 0\left( mod8 \right)$$
ahora veamos cuales son los 2 primeros valores de t positivos tal que cumplen la congruencia, si checamos nos damos cuenta que los primeros valores de t que cumplen las congruencia son 4 y 5 por lo que se deduce a partir de estos valores que
$$t\equiv 4\left( mod8 \right)$$
$$t\equiv 5\left( mod8 \right)$$
bien ahora vamos a solucionar esta otra congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod5 \right)$$
que si checamos nos damos cuenta que la primera solución de t es 4 por lo que se deduce que
$$t\equiv 3\left( mod5 \right)$$
ahora lo que haremos con ayuda de los anteriores resultados sera resolver esta congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod\quad 40 \right)$$
lo que haré sera tomar una solución por cada congruencia anteriormente resuelta, en pocas palabras se tendrán que resolver los siguientes congruencias
$$t\equiv 4\left( mod\quad 8 \right)$$
$$t\equiv 3\left( mod\quad 5 \right)$$
usando el teorema del residuo chino que próximamente traeré el que es, la demostración y para que sirve por el momento con el anterior sistema se tiene que
$$t\equiv -3\left( mod\quad 40 \right)$$
ahora para la congruencia
$${ t }^{ 2 }-9t-36\equiv 0\left( mod\quad 8 \right)$$
se tiene que un conjunto de las soluciones es
$$t\equiv 4\left( mod\quad 8 \right)$$
y una solución es t igual a 12,
ahora checamos la ultima congruencia que fue resuelta usando el teorema chino del resto se tiene que un conjunto solución de esa congruencia es
$$t\equiv -3\left( mod\quad 40 \right)$$
por lo que se deduce que t igual a menos 3 es una solución, en conclusión si checamos bien 12 y menos 3 son raíces de el polinomio
$${ t }^{ 2 }-9t-36$$
le recomiendo que saque sus propias conclusiones y deducciones sobre este método para deducir si un polinomio tiene raíces enteras y calcularlas usando este mismo método eso ha sido todo por mi síganos en facebook y twitter muchas gracias por ver
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