localización de raíces enteras usando aritmética modular

hola en este día traeré un ejemplo muy simple de como se puede utilizar la aritmética modular para calcular las raíces enteras de un polinomio
como primer paso vamos a definir nuestro polinomio
$$t^2-9t-36$$

ahora vamos a resolver la siguiente congruencia
$$t^2-9t-36\equiv 0\left(mod8\right)$$
las soluciones de esta congruencia son las mismas que las de la siguiente congruencia
$$t^2-t-4\equiv 0\left(mod8\right)$$
ahora veamos cuales son los 2 primeros valores de t positivos tal que cumplen la congruencia, si checamos nos damos cuenta que los primeros valores de t que cumplen las congruencia son 4 y 5 por lo que se deduce a partir de estos valores que
$$t\equiv 4\left(mod8\right)$$
$$t\equiv 5\left(mod8\right)$$
bien ahora vamos a solucionar esta otra congruencia
$$t^2-9t-36\equiv 0\left(mod5\right)$$
que si checamos nos damos cuenta que la primera solución de t es 4 por lo que se deduce que
$$t\equiv 3\left(mod5\right)$$
ahora lo que haremos con ayuda de los anteriores resultados sera resolver esta congruencia
$$t^2-9t-36\equiv 0\left(mod40\right)$$
lo que haré sera tomar una solución por cada congruencia anteriormente resuelta, en pocas palabras se tendrán que resolver los siguientes congruencias
$$t\equiv 4\left(mod8\right)$$
$$t\equiv 3\left(mod5\right)$$
usando el teorema del residuo chino que próximamente traeré el que es, la demostración y para que sirve por el momento con el anterior sistema se tiene que
$$t\equiv -3\left(mod40\right)$$
ahora para la congruencia
$$t^2-9t-36\equiv 0\left(mod8\right)$$
se tiene que un conjunto de las soluciones es
$$t\equiv 4\left(mod8\right)$$
y una solución es t igual a 12,
ahora checamos la ultima congruencia que fue resuelta usando el teorema chino del resto se tiene que un conjunto solución de esa congruencia es
$$t\equiv -3\left(mod40\right)$$
por lo que se deduce que t igual a menos 3 es una solución, en conclusión si checamos bien 12 y menos 3 son raíces de el polinomio
$$t^2-9t-36$$
le recomiendo que saque sus propias conclusiones y deducciones sobre este método para deducir si un polinomio tiene raíces enteras y calcularlas usando este mismo método eso ha sido todo por mi síganos en facebook y twitter muchas gracias por ver