En este caso me ocuparé de dar una forma o perspectiva de cómo resolver ecuaciones funcionales más difíciles. Esto ocurre cuando se trata de resolver los problemas de ecuaciones funcionales olímpicas y se ve que con ese tipo de ecuaciones funcionales la dificultad pero las ecuaciones funcionales de la IMO shortlist son para mi las que estan a otro nivel y que requieren de mayor consideración, ya que no por ser demasiado difíciles no se debe pensar que solo porque los problemas de la IMO solo se encontrarán con ecuaciones funcionales que requieren soluciones cortas y agradables nunca aparecerán sino mas bien hay que prepararse en el caso de que en el futuro se presente una ecuación funcional de esa dificultad y peor aún cuando la ecuación funcional parezca muy inofensiva se puede dar una sorpresa si no encuentra todas las soluciones aparte de las de tipo polinomicas por ejemplo y de las más obvias pero no quiere decir de que sean las unicas soluciones en todo caso puede o existe la posibilidad de que existan hasta más de 2 soluciones esto es algo muy extraordinario y muy increible ya que parece a simple vista como si son muy pocas las soluciones o muy especificas y lógicas u obvias. Ahora veremos una forma no la mejor, si usted quiere encontrar una mejor manera de resolver las ecuaciones funcionales de este tipo deberá comenzar una investigación y en todo caso encontrar esa mejor manera dependerá solamente de usted mismo y de su imaginación bien aclarado eso comencemos.
primeramente y no menos importante ahy que analizar muy bien el dominio y el rango de la funcion esto parece demasiado gracioso pero si usted se confunde y no interpreta bien esa condicion lamentablemente fallara bien ahora lo segundo
las siguientes sugerencias no estan en orden logico asique puede aplicar cualquiera primero
buscar los valores donde la funcion puede tener 2 o mas valores ditintos esto es una pista de que usted esta tratando con una funcion con una o mas soluciones sin exagerar puedo decir que existen soluciones a ecuaciones funcionales con mas de 6 soluciones y hasta infinitas
todo por depender de los posibles valores de un punto bien ahora esto como se trata pues primero divida los posibles casos y trate de ver que pasaria si la funcion tomara esos valores por separado algo que tambiem puede ayudar esque puede suponer que los valores son iguales a 0 ,negativos o positivos tambiem puede apoyarse en desigualdades para dar un posible intervalo de valores que podria tomar la funcion en ese punto
muchas veces cuando se trata de encontrar soluciones se suele encontrar con funciones de tipo (mod n) esto pasa casi siempre cuando se demuestra la solucion mediante induccion
otra posible ayuda es tratar de reducir la ecuacion funcional a recursiones esta herramienta puede aplicarse en varias maneras y formas distintas ya sea para saber la iteracion n esima osea f(f...f(x)...) n veces a veces se suele proponer un valor por ejemplo 0 o 1 y investigar la sucesion f(f...(1)...) para poder saber el valor de ese punto o obtener la formula general de iteraciones otra forma seria proponer el cambio x=a^n y asi reducirlo a una recursion esto funciona si y solo si en su ecuacion funcional se ha reducido a una forma donde no esta iterada aunque despues devera demostrar que o probar que para distintos valores de la entrada la funcion puede tomar distintos valores y asi encontrar distintas soluciones y ademas deberá demostrar usando siempre la recursion que sólo existen esas funciones
Otro método se basa en suponer suponer que ahy funciones polinomiales y es verdad muchas de las ecuaciones funcionales tienen soluciones polinomicas con un grado determinado aunque despues de encontrar y buscar las soluciones polinomicas deberá buscar funciones que no son polinomicas bueno enrealidad si pero con la única diferencia que son funciones a trozos y si existen funciones a trozos que solucionan ecuaciones funcionales en todo caso le recomiendo siempre investigar a fondo la ecuación funcional y presionar hasta donde mas no se pueda
Estas han sido mis recomendaciones espero le hayan servido mucho
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