problema con divisiones de polinomios

hola buenas en este día resolveremos el siguiente problema que dice sean a,b y n ser enteros positivos por lo tanto investigue bajo que condiciones el siguiente polinomio
$${ t }^{ 2 }-t+a$$
divide a
$${ t }^{ n }+t+b$$
comenzando tenemos que la idea es tomar el polinomio cuadrático y tratar de convertirlo en un polinomio de grado n para después así poder igualar coeficientes en realidad este es el método de coeficientes indeterminados bueno no exactamente solo usaremos la idea de igualar coeficientes esto se puede lograr de la siguiente manera primero se iguala a 0 el polinomio cuadrático
$${ t }^{ 2 }-t+a\equiv 0$$
lo cual implica
$$\Rightarrow { t }^{ 2 }\equiv t-a$$
ahora vamos a multiplicar ambos lados por t y asi sucesivamente hasta llegar a un polinomio de grado n
$${ t }^{ 3 }\equiv t-a-at$$
$$\Rightarrow { t }^{ 3 }\equiv \left( 1-a \right) t-a$$
$${ t }^{ 4 }\equiv \left( 1-a \right) \left( t-a \right) -at$$
$$\Rightarrow { t }^{ 4 }\equiv t\left( 1-a \right) -a\left( 1-a \right) -at$$
$$\Rightarrow { t }^{ 4 }\equiv t\left( 1-2a \right) -a\left( 1-a \right)$$
$${ t }^{ n }\equiv { f }_{ n }\left( a \right) t-a{ f }_{ n-1 }\left( a \right)$$
que significa esto pues lo que significa es que es un múltiplo de el polinomio cuadrático que lo fuimos transformando hasta llegar hasta aquí como una aclaración la sucesión
$$f_{ n }\left( a \right) $$
no es una molestia ya que se le igualara a un numero y todo se simplificara muchísimo

ahora tenemos que
$$\\ { t }^{ n }-{ f }_{ n }\left( a \right) t+a{ f }_{ n-1 }\left( a \right) \equiv { t }^{ n }+t+b$$
igualando coeficientes se tiene lo siguiente
$${ f }_{ n }\left( a \right) =-1$$
$$a{ f }_{ n-1 }\left( a \right) =b$$
ahora damos el valor de
$$a=1$$
lo cual implica
$$a=1$$
$$b=0\quad ,b=-1$$
ahora veamos que pasa si
$$b=0$$
esto implica que
$$b=0\quad \Rightarrow \quad n=6k+4$$
por lo tanto es fácil decir que es verdad este caso porque
$${ t }^{ 2 }-t+1|{ t }^{ 6k+4 }+t=t\left( { t }^{ 3 }+1 \right) \left( { t }^{ 6k }-\dots +1 \right)$$
ahora veamos este caso
$$b=-1\quad ,\quad n=6k+5$$
lo cual implica que
$${ t }^{ 2 }-t+1|{ t }^{ 6k+5 }+t-1$$
lo cual es fácil saber que es verdad ya que
$$ { t }^{ 6k+5 }+t-1={ t }^{ 6\left( k-1 \right) +5 }\left( { t }^{ 6 }-1 \right) +{ t }^{ 6\left( k-1 \right) +5 }+t-1$$
para
$$k\ge 1$$
por lo tanto eso ha sido todo por mi parte muchas gracias por ver no dude en seguirnos y darle like a nuestra pagina en facebook cualquier duda o propuesta y opinión déjemela saber en los comentarios y con mucho gusto lo leeré