reducibilidad de polinomios sobre enteros
hola anteriormente habia subido mi segundo articulo ablando sobre las estrategias o ideas que se tienen que tener en cuenta al intentar saber si un polinomio es reducible sobre los enteros esta vez vamos a ver la idea en general que se tiene que tener para ir directamente para saber si un polinomio es reducible sobre enteros para empezar comenzamos definiendo la siguiente notacion
$$\displaystyle \mathbb{Z}_{m} =\{0,1,2\dotsc ,m-1\}$$
la siguiente notacion es mas habitual usarse en teoria de numeros pero solo la utilizaremos como introduccion por lo tanto si primero nos planteamos que si el siguiente polinomio
$$\displaystyle x^{2} +x+1$$
es irreducible sobre
$$\displaystyle \mathbb{Z}_{m}$$
para algun entero m
para responder esta pregunta se tiene en cuenta el teorema de la raiz racional que reza lo siguiente si tenemos un polinomio como el siguiente
$$\displaystyle p( t) =a_{n} x^{n} +a_{n-1} x^{n-1} +...+a_{0}$$
si existen 2 numeros sean p y q tal que sean coprimos y
$$\displaystyle p|a_{0}$$
$$\displaystyle q|a_{n}$$
entonces las posibles ceros de el polinomio son de la forma
$$\displaystyle x=\frac{p}{q}$$
antes que nada aclarar que los posibles ceros que nos de el teorema de la raiz racional son posibles ceros es posible que ninguno de los canditatos sea un cero,ahora como tiene que estar reducido sobre enteros se tiene que "q" tiene que ser igualado a 1,ahora utilizando esto para tratar de deducir que el polinomio
$$\displaystyle x^{2} +x+1$$
es irresucible sobre
$$\displaystyle \mathbb{Z}_{m}$$
para algun entero m se tiene que los unicos posibles candidatos son
$$\displaystyle x=\pm 1$$
como ninguno de los dos valores son raices se tiene que el polinomio es irreducible sobre
$$\displaystyle \mathbb{Z}_{2}$$
si se fija bien solo hemos definido con la notacion los valores positivos para los negativos se puede utilizar la siguiente notacion(quiero aclarar que esta no es la notacion oficial o por defecto enrealidad solo lo defino asi para un mejor entendimiento y enrealidad eso es algo que pasa en algunos libros primero se define la notacion a utilizar y su interpretacion o significado)por lo tanto para los negativos seria
$$\displaystyle -\mathbb{Z}_{m} =\{1-m,2-m,...,0\}$$
por lo tanto el polinomio anterior seria irreducible sobre
$$\displaystyle \mathbb{Z}_{2} ,-\mathbb{Z}_{2}$$
bien ahora despues de haber utilizado esa notacion para describir la irreducibilidad de un polinomio sobre enteros vamos con la idea principal
antes vamos a utilizar 1 lema el cual es el siguiente
si p(t) es irreducible sobre los enteros entonces p(t-k) tambien es irreducible los enteros donde k pertenece a el dominio de p(t) bien abiendo hecho esto vamos a demostrarlo
primero se tiene que
$$\displaystyle p( t) =f( t) q( t) \Rightarrow p( t-k) =f( t-k) q( t-k)$$
por lo tanto como se tiene por hipotesis que p(t) es irreducible f(t) o q(t) uno de ellos dos deben de ser constantes y aunque alguno de ellos dos se evalue en t-k aun asi seguiria siendo irreducible sobre enteros por lo tanto p(t-k) es irreducible sobre los enteros por lo tanto la prueba ha terminado
ahora como es la forma para saber si un polinomio tiene posibles raices enteras bueno abiendo demostrado lo anterior se tiene que si p(t) es irreducible p(t+1) tambien es irreducible y ademas esta afirmacion se complemente con el uso de el teorema de la raiz racional que algun dia la traere en mi blog demostrada por lo tanto veamos un ejemplo
queremos saber si el polinomio
$$\displaystyle 49t^{2} +35t+11$$
es irreducible sobre enteros por lo tanto utilizando primero el teorema de la raiz racional se tiene que los unicos posibles candidatos para ser raices o ceros son
$$\displaystyle t=\pm 1,\pm 11$$
ahora utilizando la tecnica anterior agamos el cambio
$$\displaystyle t=s+1$$
$$\displaystyle \Rightarrow p( s+1) =49s^{2} +133s+95$$
por lo tanto ahora notemos que el termino constante sera p(1)=95 por lo tanto ahora volviendo a utilizar el teorema de la raiz radional se tiene que los posibles ceros o raices de este nuevo polinomio son
$$\displaystyle s=\pm 1,\pm 5,\pm 19,\pm 95$$
ahora lo que aremos sera descartar los valores que no aparecen en ambas listas por lo tanto se tiene que los unicos valores son
$$\displaystyle t=\pm 1$$
ahora si evaluamos en el polinomio estos valores nos damos cuenta que ninguno es un cero por lo tanto queda concluido que no existe ningun entero tal que p(t)=0 por lo tanto utilizando la notacion anterior el polinomio es irreducible sobre
$$\displaystyle {z_{11} ,-z_{11}}$$
quiero aclarar que esta idea se basa en el hecho de descartar los valores mas grandes que son propuestos para ser raices como en este ejemplo solo nos quedo dos numeros muy pequeños como el uno y el menos uno
como ultima idea presentaremos el siguiente ejemplo que deja en claro como deducir o saber si un polinomio es reducible es una tarea bastante engorrosa, primero sea f(t) el siguiente polinomio
$$\displaystyle f( t) =10t^{5} +3t^{4} -38t^{3} -5t^{2} -6t+3$$
por lo tanto una manera en la que se puede deducir si es reducible o no es haciendo esta idea primero calculamos f(-1),f(0) y f(1)
$$\displaystyle f( -1) =35,f( 0) =3\ y\ f( 1) =-33$$
por lo tanto ahora lo que aremos sera suponer que es reducible en 2 factores supongamos que uno de sus factores es g(t) de maximo grado 2 por lo tanto para encontrar los coeficientes de g(t) se hace lo siguiente
$$\displaystyle g( -1) =u,g( 0) =v\ y\ g( 1) =w$$
lo que queremos hacer es dejar los coeficientes de g(t) en funcion de las variables anteriormente mencionadas, g(t) tiene la siguiente forma
$$\displaystyle g( t) =at^{2} +bt+c$$
por lo tanto ahora tenemos los siguientes sistemas de ecuaciones
$$\displaystyle c=g( 0) =v$$
$$\left\{\begin{array}{l}g(-1)=a-b+v=u \\ g(1)=a+b+v=w\end{array}\right.$$
$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a-b+v=u \\ a+b+v=w\end{array}\right.$$
despues de haberse resuelto el sistema nos quedaria algo asi
$$\displaystyle a=\frac{u+w-2v}{2}$$
$$\displaystyle b=\frac{w-u}{2}$$
por lo tanto g(t) quedaria de la siguiente manera
$$\displaystyle g( t) =\left(\frac{u+w-2v}{2}\right) t^{2} +\left(\frac{w-u}{2}\right) t+v$$
ahora podemos comenzar a deducir que si u,v y w son enteros entonces
$$\displaystyle u|35\ ,\ v|3\ \ y\ w|33$$
ahora por lo tanto tambien se puede deducir que como f(t) como tiene 2 factores entonces como uno de sus factores es cuadratico y el otro posiblemente puede ser un cubico el producto de sus principales coeficientes son enteros por lo que el producto de ambos debe ser 10 por lo que el principal coeficiente de g(t) debe ser ya sea 1 o 2 por lo tanto de esto se deduce que
$$\displaystyle w+u-2v|20$$
por lo tanto con ayuda de los dos anteriores resultados se tiene que podemos elegir v=1 o v=3 porque ambos son divisores de f(0)=3 por lo tanto gracias a esto si se elige v=1 se tiene que los posibles resultados para w+u son -18,-8,-2,0,4,6,12,22 y si se elige v=3 los posibles valores de w+u son -14,-4,2,4,8,10,16,26
esto solo deja en claro lo dificil que es aun para un matematico saber si un polinomio es reducible sobre enteros es mas ni aun el criterio el einteinen es lo suficientemente capaz para decir si un polinomio es reducible vease los siguientes polinomios
$$\displaystyle t^{2} +t+1$$
$$\displaystyle 49t^{2} +35t+11$$
por lo tanto eso ha sido todo proximamente traere un problema en donde se aplica la ultima idea presentada en este articulo por lo tanto eso ha sido todo por mi parte por favor siganos y dele like a nuestra pagina en facebook muchas gracias por su atencion
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