como resolver un sistema de 3 congruencias sin  utilizar el teorema del residuo chino

 

hola en este día enseñare como se resuelve el siguiente sistema de congruencias sin utilizar el teorema chino del resto
$$x\equiv 3\left( mod\quad 7 \right)$$
$$x\equiv 4\left( mod\quad 11 \right)$$
$$x\equiv 2\left( mod\quad 13 \right)$$
primera condición que deben cumplir los sistemas de congruencias que los números acompañados del mod, tienen un máximo común divisor de 1 y como vemos si cumple esa condición ya que
$$gcd\left( 7,11,13 \right)$$
ok ahora lo primero que hay que hacer es lo siguiente tomamos la congruencia con el numero acompañado con el mod mas grande que en este caso seria 13 lo tomamos junto a la congruencia mod 11, y asemos lo siguiente
$$4+11k\equiv 2\quad \left( mod\quad 13 \right)$$
$$\Rightarrow 11k\equiv -2\quad \left( mod\quad 13 \right)$$
ahora buscamos el valor mas pequeño y positivo de k que cumpla la anterior congruencia que en este caso es k igual a 1 por lo que tenemos lo siguiente
$$k\equiv 1\quad \left( mod\quad 13 \right)$$
ahora aremos lo siguiente
$$\Rightarrow 11k\equiv 11\quad \left( mod\quad 11\ast 13 \right)$$
$$\Rightarrow 11k+4\equiv 15\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
bien ahora recordemos que
$$x\equiv 11k+4$$
lo cual implica que
$$\Rightarrow x\equiv 11k+4\equiv 15\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
$$\Rightarrow x\equiv 15\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
ahora tomamos la anterior congruencia y la que no tomamos al principio y las juntamos y resolvemos el siguiente sistema de congruencias
$$x\equiv 3\quad \left( mod\quad 7 \right)$$
$$x\equiv 15\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
hacemos el mismo procedimiento que el anterior hacemos lo siguiente
$$3+7i\equiv 15\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
$$\Rightarrow 7i\equiv 12\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
ahora buscaremos el numero i mas pequeño y positivo el numero es un poco grande por lo que si hay alguien que se anime a resolver este sistema le recomendaría usar la calculadora el numero el mas pequeño es 63 por lo que significa que
$$i\equiv 63\quad \left( mod\quad 143 \right)$$
ahora asemos lo siguiente
$$\Rightarrow 7i\equiv 7\ast 63\quad \left( mod\quad 143\ast 7 \right)$$
$$\Rightarrow 7i+3\equiv 444\quad \left( mod\quad 1001 \right)$$
ahora fijémonos que
$$x\equiv 7i+3$$
$$\Rightarrow x\equiv 7i+3\equiv 444\quad \left( mod\quad 1001 \right)$$
y como solución final tenemos que
$$x\equiv 444\quad \left( mod\quad 1001 \right)$$
y  así es como se resuelve un sistema si le gusta mi contenido y trabajo síganos en facebook y twitter y muchísimas gracias por ver