resolucion de congruencias de polinomios con potencias de numeros primos
hola en esta ocasion como resolver congruencias con potencias de numeros en si el procedimiento se basa en resolver una congruencia de numeros compuestos y luego separar los numeros primos, el ejemplo que presentare es muy sencillo por lo tanto vamos a ver como se resuelve la siguiente congruencia
lo primero que se hace es reescribir la congruencia en la siguiente forma
llegados a este punto podemos estar deacuerdo que todas las soluciones a la anterior congruencia son las mismas que la siguiente congruencia
por lo que pasando el 2 al lado contrario tenemos que
desde aqui podemos dedir que
por lo que ahora podemos reescribir lo anterior como
bien ahora sustituimos el valor de t en la siguiente congruencia
sustituyendo tenemos
desarrollando el binomio a el cuadrado y simplificando tenemos que
ahora hacemos desaparecer todos los multiplos de 9 y quedaria asi
ahora pasamos el 3 a el lado contrario
y sumandole 9 a el lado donde se encuentra el mod tenemos que
ahora dividiremos toda la congruencia entre el factor comun que en este caso es 3
bien llegados a este punto podemos probar valores para k vemos que el unico es 1 por lo que tenemos lo siguiente
ahora recordemos que
por lo que haciendo lo siguiente podemos lograr dejar a t
la anterior congruencia corresponde a la solucion de la congruencia
por lo tomando la solucion
y con ella tratamos de reoslver la siguiente congruencia
primero tomamos la igualdad
y hacemos lo mismo sustituimos t de la siguiente manera
desarrollamos el binomio y resolvemos como se hizo anteriormente
por lo tanto la solucion a la congruencia
es
como una aclaracion adicional la siguiente congruencia
tambien tenia como conjunto de soluciones la siguiente congruencia
y si es posible que se hubiera hecho el anterior procedimiento y se hubiera llegado a un segundo conjunto de soluciones.
otra aclaracion esque este tipo de congruencias se puede resolver usando el lemma de hensel que lo traere mas adelante y tambien mas adelante traere la demostracion de el pequeño teorema de fermat por lo tanto eso ha sido todo por mi parte muchas gracias por ver
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