resolucion de congruencias de polinomios con potencias de numeros primos

hola en esta ocasion como resolver congruencias con potencias de numeros en si el procedimiento se basa en resolver una congruencia de numeros compuestos y luego separar los numeros primos, el ejemplo que presentare es muy sencillo por lo tanto vamos a ver como se resuelve la siguiente congruencia

$$\displaystyle t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 27)$$

lo primero que se hace es reescribir la congruencia en la siguiente forma

$$\displaystyle t^{2} +2\equiv 0\ \left( mod\ 3^{3}\right)$$

llegados a este punto podemos estar deacuerdo que todas las soluciones a la anterior congruencia son las mismas que la siguiente congruencia

$$\displaystyle t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 3)$$

por lo que pasando el 2 al lado contrario tenemos que

$$\displaystyle \Rightarrow \ t^{2} \equiv -2\ ( mod\ 3)$$

$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} \equiv 1\ ( mod\ 3)$$

desde aqui podemos dedir que 

$$\displaystyle \Rightarrow t\equiv \ 1\ ( mod\ 3)$$

por lo que ahora podemos reescribir lo anterior como

$$\displaystyle \Rightarrow t=1+3k$$

bien ahora sustituimos el valor de t en la siguiente congruencia

$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 9)$$

$$\displaystyle \Rightarrow t=1+3k$$

sustituyendo tenemos

$$\displaystyle \Rightarrow ( 1+3k)^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 9)$$

desarrollando el binomio a el cuadrado y simplificando tenemos que

$$\displaystyle \Rightarrow 9k^{2} +6k+3\equiv 0\ ( mod\ 9)$$

ahora hacemos desaparecer todos los multiplos de 9 y quedaria asi

$$\displaystyle \Rightarrow 6k+3\equiv 0\ ( mod\ 9)$$

ahora pasamos el 3 a el lado contrario

$$\displaystyle \Rightarrow 6k\equiv -3\ ( mod\ 9)$$

y sumandole 9 a el lado donde se encuentra el mod tenemos que

$$\displaystyle \Rightarrow 6k\equiv 6\ ( mod\ 9)$$

ahora dividiremos toda la congruencia entre el factor comun que en este caso es 3

$$\displaystyle \Rightarrow \ 2k\equiv 2\ ( mod\ 3)$$

bien llegados a este punto podemos probar valores para k vemos que el unico es 1 por lo que tenemos lo siguiente

$$\displaystyle \Rightarrow k\equiv 1\ ( mod\ 3)$$

ahora recordemos que 

$$\displaystyle \Rightarrow t=1+3k$$

por lo que haciendo lo siguiente podemos lograr dejar a t

$$\displaystyle \Rightarrow 3k\equiv \ 3\ ( mod\ 9)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 3k+1\equiv 4\ ( mod\ 9)$$

$$\displaystyle \Rightarrow t\equiv 4\ ( mod\ 9)$$

la anterior congruencia corresponde a la solucion de la congruencia

$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 9)$$

por lo tomando la solucion

$$\displaystyle \Rightarrow t\equiv 4\ ( mod\ 9)$$

y con ella tratamos de reoslver la siguiente congruencia

$$\displaystyle t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 27)$$

primero tomamos la igualdad

$$\displaystyle t=4+9u$$

y hacemos lo mismo sustituimos t de la siguiente manera

$$\displaystyle ( 4+9u)^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 27)$$

desarrollamos el binomio y resolvemos como se hizo anteriormente

$$\displaystyle \Rightarrow 81u^{2} +72u+18\equiv 0\ ( mod\ 27)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 72u+18\equiv 0\ ( mod\ 27)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 72u\equiv -18\ ( mod\ 27)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 72u\equiv \ 9\ ( mod\ 27)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 8u\equiv 1\ ( mod\ 3)$$

$$\displaystyle \Rightarrow u\equiv 2\ ( mod\ 3)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 9u\equiv 18\ ( mod\ 27)$$

$$\displaystyle \Rightarrow 9u+4\equiv 22\ ( mod\ 27)$$

$$\displaystyle t\equiv 22\ ( mod\ 27)$$

por lo tanto la solucion a la congruencia

$$\displaystyle t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 27)$$

es 

$$\displaystyle t\equiv 22\ ( mod\ 27)$$

como una aclaracion adicional la siguiente congruencia 

$$\displaystyle t^{2} +2\equiv 0\ ( mod\ 3)$$

tambien tenia como conjunto de soluciones la siguiente congruencia

$$\displaystyle t\equiv 2\ ( mod\ 3)$$

y si es posible que se hubiera hecho el anterior procedimiento y se hubiera llegado a un segundo conjunto de soluciones.

otra aclaracion esque este tipo de congruencias se puede resolver usando el lemma de hensel que lo traere mas adelante y tambien  mas adelante traere la demostracion de el pequeño teorema de fermat por lo tanto eso ha sido todo por mi parte muchas gracias por ver