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resolucion de congruencias de polinomios con potencias de numeros primos

 resolucion de congruencias de polinomios con potencias de numeros primos


hola en esta ocasion como resolver congruencias con potencias de numeros en si el procedimiento se basa en resolver una congruencia de numeros compuestos y luego separar los numeros primos, el ejemplo que presentare es muy sencillo por lo tanto vamos a ver como se resuelve la siguiente congruencia
t2+2≡0 (mod 27)
lo primero que se hace es reescribir la congruencia en la siguiente forma
t2+2≡0 (mod 33)
llegados a este punto podemos estar deacuerdo que todas las soluciones a la anterior congruencia son las mismas que la siguiente congruencia
t2+2≡0 (mod 3)
por lo que pasando el 2 al lado contrario tenemos que
⇒ t2≡−2 (mod 3)
⇒t2≡1 (mod 3)
desde aqui podemos dedir que 
⇒t≡ 1 (mod 3)
por lo que ahora podemos reescribir lo anterior como
⇒t=1+3k
bien ahora sustituimos el valor de t en la siguiente congruencia
⇒t2+2≡0 (mod 9)
⇒t=1+3k
sustituyendo tenemos
⇒(1+3k)2+2≡0 (mod 9)
desarrollando el binomio a el cuadrado y simplificando tenemos que
⇒9k2+6k+3≡0 (mod 9)
ahora hacemos desaparecer todos los multiplos de 9 y quedaria asi
⇒6k+3≡0 (mod 9)
ahora pasamos el 3 a el lado contrario
⇒6k≡−3 (mod 9)
y sumandole 9 a el lado donde se encuentra el mod tenemos que
⇒6k≡6 (mod 9)
ahora dividiremos toda la congruencia entre el factor comun que en este caso es 3
⇒ 2k≡2 (mod 3)
bien llegados a este punto podemos probar valores para k vemos que el unico es 1 por lo que tenemos lo siguiente
⇒k≡1 (mod 3)
ahora recordemos que 
⇒t=1+3k
por lo que haciendo lo siguiente podemos lograr dejar a t
⇒3k≡ 3 (mod 9)
⇒3k+1≡4 (mod 9)
⇒t≡4 (mod 9)
la anterior congruencia corresponde a la solucion de la congruencia
⇒t2+2≡0 (mod 9)
por lo tomando la solucion
⇒t≡4 (mod 9)
y con ella tratamos de reoslver la siguiente congruencia
t2+2≡0 (mod 27)
primero tomamos la igualdad
t=4+9u
y hacemos lo mismo sustituimos t de la siguiente manera
(4+9u)2+2≡0 (mod 27)
desarrollamos el binomio y resolvemos como se hizo anteriormente
⇒81u2+72u+18≡0 (mod 27)
⇒72u+18≡0 (mod 27)
⇒72u≡−18 (mod 27)
⇒72u≡ 9 (mod 27)
⇒8u≡1 (mod 3)
⇒u≡2 (mod 3)
⇒9u≡18 (mod 27)
⇒9u+4≡22 (mod 27)
t≡22 (mod 27)
por lo tanto la solucion a la congruencia
t2+2≡0 (mod 27)
es 
t≡22 (mod 27)
como una aclaracion adicional la siguiente congruencia 
t2+2≡0 (mod 3)
tambien tenia como conjunto de soluciones la siguiente congruencia
t≡2 (mod 3)
y si es posible que se hubiera hecho el anterior procedimiento y se hubiera llegado a un segundo conjunto de soluciones.
otra aclaracion esque este tipo de congruencias se puede resolver usando el lemma de hensel que lo traere mas adelante y tambien  mas adelante traere la demostracion de el pequeño teorema de fermat por lo tanto eso ha sido todo por mi parte muchas gracias por ver

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