michael rolle
Michel Rolle fue un matemático francés. Se dedicó preferentemente a la teoría de ecuaciones, dominio en el que encontró diversos resultados, entre los que destaca el reconocido teorema que lleva su nombre, formulado en 1690, en el cual representa una aplicación de la teoría de funciones a la de ecuaciones algebraicas
el metodo que vamos a emplear no es la formula de newton sino mas bien el teorema de rolle el cual es empleado para calcular las raizes de un polinomio rolle publico este metodo en 1690 este metodo fue discutido por que a medida que el grado de el polinomio aumenta su dificultad aumenta muy considerablemente hasta que llegamos a el peor de los casos el cual es que todas las raices de el polinomio no pueden expresarse mediante radicales y en tal caso se aria uso de la trigonometria si escucho bien cuando las raices fallan no hay de otra que usar la trigonometria pero eso es una historia que lo dejare para otro articulo o puede ver mi articulo sobre la demostracion de las raices de la funcion polinomica de tercer grado
el teorema de rolle se define como (cabe aclarar que tiene muchas equivalencias por lo tanto tambien es correcto decir que se puede definir como "entre 2 ceros reales concecutivos de un polinomio se encuentra un maximo o un minimo")
demostracion del teorema de rolle:
por lo tanto si analizamos bien si hay un punto x en el intervalo [a,b] y que ademas x<c y f(c) es un maximo esto implica que el cociente anterior que todas las pendiendes para x<c dentro del intervalo [a,b] implica que todas las x con estas propiedades el cociente anterior es positivo y para x>c pasa algo parecido ya que el anterior cociente es negativo si x>c por lo tanto en palabras mas simples la funcion sube y baja lo que crea un maximo en el intervalo [a,b] de manera parecida puede demostrarse para el caso que sea un minimo
ahora veamos como este resultado puede ayudarnos a encontrar raices pues ahora que sabemos que entre 2 raices concecutivas hay un maximo o un minimo algo parecido pasaria es decir "un polinomio con almenos 3 raices reales entonces entre un maximo y un minimo hay una raiz de ese polinomio" esto es muy facil de demostrarse ya que como el maximo va desde arriba acia abajo llegare un momento en el que se interceptara con el eje de las x y luego llegara a tener un minimo
como la derivada de un polinomio es uno menos que el grado de tal polinomio es mas facil decir en que intervalo se encontrara una raiz notese que esto es solo una aproximacion no la calculacion de la raiz como tal pero puede ayudar en cualquier caso veamos un ejemplo para alclarar mas lo que queremos establecer supongamos que queremos saber en que intervalo se encuentra una de las raices de la siguiente funcion
ahora lo que aremos sera derivarla
y calcular los ceros de la derivada
ahora esto implica que una de las raices de el polinomio se encuentra dentro de el intervalo
y es verdad porque una de las raices de el polinomio es 5 y se encuentra en el intervalo dado por lo tanto usted puede hacer lo mismo para tratar de dar un intervalo en donde se encuentra una raíz
y ojo tenga mucho cuidado es decir hay algunas veces en que dentro de un intervalo de raíces consecutivas hay hasta mas de 1 máximo o un mínimo por lo tanto seria mejor idea acompañar esta técnica con una graficadora
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