problema nivel olímpico
este día resolveremos el siguiente problema
cual es la raíz de multiplicidad mas grande de
$$x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) ...\left( x-n+1 \right) =k$$
para comenzar a resolver primero entendamos que quiere decir con multiplicidad y es que es cuando un polinomio puede factorizarse de la siguiente manera
$$f\left( x \right) =\left( x-c \right) ^{ r }g\left( x \right)$$
y se dice que el polinomio tiene una raiz de multiplicidad r
ahora que sabemos lo que significa vamos a investigarlo un poco y a ver como podemos encontrar dicho numero antes que nada ver que el grado esta en funcion de n es decir tiene un grado de n entonces para resolverlo vemos que su estructura es muy complicada es decir no podemos eliminar los parentesis porque la expresion se aria mas complicada asique lo que usare sera el siguiente lema que dice que si tenemos un polinomio con multiplicidad r anteriormente explicado se cumple que
$$f\left( c \right) =f'\left( c \right) =f''\left( c \right) =...=f^{ r-1 }\left( c \right) =0$$
pero lo que aremos será solo aplicar solo una vez la derivada y aun asi funciona porque pues porque si nos fijamos bien solo hay que evaluar en c y asi función y derivada son iguales a 0 es decir primero igualamos todo a 0 de la siguiente manera
$$x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) ...\left( x-n+1 \right) -k=0$$
y ahora
$$x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) ...\left( x-n+1 \right) -k=f\left( x \right)$$
bien ahora a calcular la derivada se tiene que serán n-1 distintos ceros de la derivada y como vimos anteriormente solo igualando la derivada y la función en función de c osea la raíz de multiplicidad se tiene que como la raíz de la derivada es una raíz de la función su raíz de multipli grande es de 2 es decir
$$f\left( x \right) =\left( x-c \right) ^{ 2 }g\left( x \right)$$
aunque como vimos es el máximo osea que también puede tener un cero de multiplidad 1 y porque no extenderse a mas derivadas? no porque daría lo mismo y seria mucho peor ya que tendríamos que suponer que la ecuación tiene un máximo de r raíces derivar demasiadas y todo seria muy complicado e innecesario
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