Demostración: fórmulas generales de ecuación cubica y su relación con la teoría de Galois (Actualizado)

anteriormente había hecho un articulo dedicado a las raíces de la ecuación cubica y si aun no lo ha visto le recomiendo leerlo dando  click aquí

entonces porque volver a escribirlo devuelta pues resulta que esta muy desactualizado es decir si ya vio mi anterior articulo esta muy mal hecho no esta al nivel profesional y también cometí pequeños errores por lo tanto me veo en la necesidad de volverlo a hacer pero de manera mas profesional también debo aclarar que esta ecuación a diferencia de la ecuación cuadrática hay 3 casos por lo que para cada caso hay una formula especifica para calcular las 3 raíces por lo tanto este articulo constara de 2 partes esta es la primera parte así que próximamente subiré la segunda parte así que disfrute de la demostración

comenzamos definiendo la función cubica igualada a 0

$${ ax }^{ 3 }+{ bx }^{ 2 }+cx+d=0$$

ahora lo pasamos o convertimos a polinomio monico es decir el termino cubico tiene como coeficiente 1

$$a\left( { x }^{ 3 }+\frac { b{ x }^{ 2 } }{ a } +\frac { c{ x } }{ a } +\frac { d }{ a }  \right) =0$$

$$\Rightarrow \left( { x }^{ 3 }+\frac { b{ x }^{ 2 } }{ a } +\frac { c{ x } }{ a } +\frac { d }{ a }  \right) =0$$

ahora lo convertimos en esto

$${ x }^{ 3 }+a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$$ $$\quad a,b,c\in R$$

no hay que confundirse simplemente solo lo convertí en un polinomio monico y mostré como puede transformarse un polinomio normal a uno monico siguiendo con la demostración el siguiente paso es aplicar la siguiente sustitución

$$x=\alpha +\beta \\ $$ $$\Rightarrow \left( \alpha +\beta  \right) ^{ 3 }+a\left( \alpha +\beta  \right) ^{ 2 }+b\left( \alpha +\beta  \right) +c=0\\$$ $$\Rightarrow \alpha ^{ 3 }+{ \alpha  }^{ 2 }\left( 3\beta +a \right) +\alpha \left( 3{ \beta  }^{ 2 }+2a\beta +b \right) +{ \beta  }^{ 3 }+a{ \beta  }^{ 2 }+b\beta +c=0$$

ahora mismo aremos que el termino cuadrático desaparezca haciendo lo siguiente

 $$\Rightarrow \alpha ^{ 3 }+{ \alpha  }^{ 2 }\left( 3\beta +a \right) +\alpha \left( 3{ \beta  }^{ 2 }+2a\beta +b \right) +{ \beta  }^{ 3 }+a{ \beta  }^{ 2 }+b\beta +c=0\\$$ $$\Rightarrow 3\beta +a=0\\$$ $$\Rightarrow \beta =\frac { -a }{ 3 } \\ \\ $$

ahora la ecuación cubica puede escribirse de la siguiente manera

 $${ \alpha  }^{ 3 }+p{ \alpha  }+q=0\\$$

$$p=\frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } -\frac { 2{ a }^{ 2 } }{ 3 } +b\quad \quad \quad$$

 $$q=\frac { -{ a }^{ 3 } }{ 27 } +\frac { { a }^{ 3 } }{ 9 } -\frac { ab }{ 3 } +c$$

ahora porque se tiene que reducir a esta forma cual es el propósito pues esto se hace porque queremos reducirlo a una ecuación cuadrática de la siguiente manera

 $${ \alpha  }^{ 3 }+p{ \alpha  }+q=0\\$$ $$ \Rightarrow \alpha =s+t\\$$  $$\Rightarrow { s }^{ 3 }+3{ s }^{ 2 }t+3s{ t }^{ 2 }+{ t }^{ 3 }+ps+pt+q=0\\$$  $$\Rightarrow { s }^{ 3 }+{ t }^{ 3 }+3st\left( s+t \right) +ps+pt+q=0\\$$  $$\Rightarrow { s }^{ 3 }+{ t }^{ 3 }+(3st+p)\left( s+t \right) +q=0$$

ahora para terminar de obtener las formulas de vieta de la ecuación cuadrática hacemos el siguiente igualamiento

$$3st+p=0\quad$$

 $$\Rightarrow st=\frac { -p }{ 3 } \quad$$ $$\Rightarrow { s^{ 3 }t }^{ 3 }=\frac { -{ p }^{ 3 } }{ 27 } $$ 

 $$\Rightarrow { s }^{ 3 }+{ t }^{ 3 }+q=0\quad$$

 $$\Rightarrow { s }^{ 3 }+{ t }^{ 3 }=-q$$

en resumen solo queríamos encontrar estas ecuaciones que describen las soluciones de la ecuación de segundo grado es decir estas formulas son las formulas de vieta de la ecuación de segundo grado pero con potencias cubicas

$$\\ \begin{cases} { s }^{ 3 }+{ t }^{ 3 }=-q \\ { s^{ 3 }t }^{ 3 }=\frac { -{ p }^{ 3 } }{ 27 }  \end{cases}$$

ahora construimos nuestra ecuación de segundo grado de la siguiente manera

$$\alpha ^{ 2 }+\alpha q-\frac { { p }^{ 3 } }{ 27 } =0$$

ahora resolviendo se tiene

$$\\ \alpha =\frac { -q\pm \sqrt { { q }^{ 2 }+\frac { 4{ p }^{ 3 } }{ 27 }  }  }{ 2 }$$

si al lector le interesa la siguiente expresión equivale a el discriminante de la ecuación cubica ya que para encontrar las raíces solo nos interesa saber si es positivo negativo o igual a 0

 $$\Delta ={ q }^{ 2 }+\frac { 4{ p }^{ 3 } }{ 27 }$$

como antes habíamos hecho esto

$$\alpha =s+t$$

las soluciones de la anterior ecuación cuadrática son los valores de s y t respectivamente por lo tanto

$$\\ \alpha =\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q+\sqrt { { q }^{ 2 }+\frac { 4{ p }^{ 3 } }{ 27 }  }  }{ 2 }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q-\sqrt { { q }^{ 2 }+\frac { 4{ p }^{ 3 } }{ 27 }  }  }{ 2 }  } \\ $$

lo anterior es solo una solución las otras se escribirán en función de de s y t por lo tanto

$$\alpha =-\frac { \sqrt [ 3 ]{ s } +\sqrt [ 3 ]{ t }  }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } i }{ 2 } \left( \sqrt [ 3 ]{ s } -\sqrt [ 3 ]{ t }  \right)$$

 $$\alpha =-\frac { \sqrt [ 3 ]{ s } +\sqrt [ 3 ]{ t }  }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } i }{ 2 } \left( \sqrt [ 3 ]{ s } -\sqrt [ 3 ]{ t }  \right)$$

por lo tanto las soluciones a la ecuación cubica son

$${ x }^{ 3 }+a{ x }^{ 2 }+bx+c=0\\$$

 $$x_{ 1 }=-\frac { a }{ 3 } +\sqrt [ 3 ]{ s } +\sqrt [ 3 ]{ t } \\$$

 $$x_{ 2 }=-\frac { a }{ 3 } -\frac { \sqrt [ 3 ]{ s } +\sqrt [ 3 ]{ t }  }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } i }{ 2 } \left( \sqrt [ 3 ]{ s } -\sqrt [ 3 ]{ t }  \right)$$

 $$x_{ 3 }=-\frac { a }{ 3 } -\frac { \sqrt [ 3 ]{ s } +\sqrt [ 3 ]{ t }  }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } i }{ 2 } \left( \sqrt [ 3 ]{ s } -\sqrt [ 3 ]{ t }  \right)$$

 $$s=\frac { -q+\sqrt { { q }^{ 2 }+\frac { 4p^{ 3 } }{ 27 }  }  }{ 2 } \\$$

 $$t=\frac { -q-\sqrt { { q }^{ 2 }+\frac { 4{ p }^{ 3 } }{ 27 }  }  }{ 2 } \\$$

 $$p=\frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } -\frac { 2{ a }^{ 2 } }{ 3 } +b\\$$

 $$q=-\frac { a^{ 3 } }{ 27 } +\frac { { a }^{ 3 } }{ 9 } -\frac { ab }{ 3 } +c$$

aclarar que este es el caso de discriminante positivo el siguiente caso lo traeré mas actualizado dentro de un tiempo por lo tanto muchas gracias por su atención

si nota o encuentra algún error déjemelo saber en los comentarios