las condiciones o ecuaciones de cauchy-rienman

las condiciones o ecuaciones de cauchy-rienman

el tema de hoy trata sobre las condiciones que debe cumplir una función de variable compleja

utilizando las derivadas parciales es posible encontrar una condición

Demostración

$$f\left(z\right)=u(x,y)+iv(x,y)$$

como la función es derivable es un punto digamos 

$$z_0=(x_0,y_0)=x_0+i{y}_0$$

ahora que es derivable tenemos que

$$\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{u(x,y)+iv(x,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y-y_0)}$$

donde este último es un límite doble en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ debido a la equivalencia topológica existente entre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con la distancia euclídea. En tal caso, si existe el límite doble, sabemos que existen los límites direccionales y que coinciden. En particular, existirán los límites direccionales a lo largo de ${\displaystyle x=x_{0}}$ y de ${\displaystyle y=y_{0}}$. Por consiguiente

1) $$f^{\prime }\left(z_0\right)=$$

 

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y_{0})+i\,v(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x-x_{0})+i(y_{0}-y_{0})}}=}$$$=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{u(x,y_0)+iv(x,y_0)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y_0-y_0)}=$$

${\displaystyle =\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\,\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {v(x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=}$$$=\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}+i\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{v(x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=$$

 

${\displaystyle =\partial _{x}u((x_{0},y_{0}))+i\,\partial _{x}v((x_{0},y_{0}))\equiv u_{x}(x_{0},y_{0})+i\,v_{x}(x_{0},y_{0})}$$$=u_x(x_0,y_0)+i{v}_x(x_0,y_0)$$

 

2) $$f^{\prime }\left(z_0\right)=$$

$$=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{u(x_0,y)+iv(x_0,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x_0-x_0)+i(y-y_0)}=$$

$$=\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{i\mathrm{\Delta }y}+i\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{i\mathrm{\Delta }y}=$$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x_{0},y)+i\,v(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x_{0}-x_{0})+i(y-y_{0})}}=}$

$$=v_y(x_0,y_0)-i{u}_y(x_0,y_0)$$

${\displaystyle =\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\,\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {v(x_{0},y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=$ahora igualando las respectivas partes reales e imaginarias se tiene

$$u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)$$

$$u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0)$$

conclusiones

si usted tiene solo la parte real o la parte imaginaria de una función de variable compleja usted puede encontrar la otra parte gracias a estas formulas

 

 

${\displaystyle ={\frac {1}{i}}\partial _{y}u((x_{0},y_{0}))+\partial _{y}v((x_{0},y_{0}))\equiv v_{y}(x_{0},y_{0})-i\,u_{y}(x_{0},y_{0})$