las condiciones o ecuaciones de cauchy-rienman

las condiciones o ecuaciones de cauchy-rienman

el tema de hoy trata sobre las condiciones que debe cumplir una función de variable compleja

utilizando las derivadas parciales es posible encontrar una condición

Demostración

$$f\left( z \right) =u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right)$$

como la función es derivable es un punto digamos 

$$ { z }_{ 0 }=\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) ={ x }_{ 0 }+i{ y }_{ 0 }$$

ahora que es derivable tenemos que

$$\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ \frac { f\left( z \right) -f\left( { z }_{ 0 } \right)  }{ \Delta z }  } =\lim _{ \left( x,y \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { u\left( x,y \right) +iv\left( x,y \right) -u\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) -iv\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +i\left( y-{ y }_{ 0 } \right)  }  } $$

donde este último es un límite doble en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ debido a la equivalencia topológica existente entre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con la distancia euclídea. En tal caso, si existe el límite doble, sabemos que existen los límites direccionales y que coinciden. En particular, existirán los límites direccionales a lo largo de ${\displaystyle x=x_{0}}$ y de ${\displaystyle y=y_{0}}$. Por consiguiente

1) $$f^{ \prime  }\left( z_{ 0 } \right) =$$

 

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y_{0})+i\,v(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x-x_{0})+i(y_{0}-y_{0})}}=}$$$=\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ \frac { f\left( z \right) -f\left( { z }_{ 0 } \right)  }{ \Delta z }  } =\lim _{ \left( x,y_{ 0 } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { u\left( x,y_{ 0 } \right) +iv\left( x,{ y }_{ 0 } \right) -u\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) -iv\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right) +i\left( y_{ 0 }-{ y }_{ 0 } \right)  }  } =$$

${\displaystyle =\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\,\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {v(x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=}$$$=\lim _{ \left( x,{ y }_{ 0 } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { u\left( x,{ y }_{ 0 } \right) -u\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \Delta x }  } +i\lim _{ \left( x,{ y }_{ 0 } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { v\left( x,{ y }_{ 0 } \right) -v\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \Delta x }  } =$$

 

${\displaystyle =\partial _{x}u((x_{0},y_{0}))+i\,\partial _{x}v((x_{0},y_{0}))\equiv u_{x}(x_{0},y_{0})+i\,v_{x}(x_{0},y_{0})}$$$=u_{ x }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) +iv_{ x }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) $$

 

2) $$f^{ \prime  }\left( z_{ 0 } \right) =$$

$$=\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ \frac { f\left( z \right) -f\left( { z }_{ 0 } \right)  }{ \Delta z }  } =\lim _{ \left( x_{ 0 },y \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { u\left( x_{ 0 },y \right) +iv\left( x_{ 0 },{ y } \right) -u\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) -iv\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \left( x_{ 0 }-{ x_{ 0 } } \right) +i\left( y-{ y }_{ 0 } \right)  }  } =$$

$$=\lim _{ \left( x_{ 0 },{ y } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { u\left( x_{ 0 },{ y } \right) -u\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ i\Delta y }  } +i\lim _{ \left( x_{ 0 },{ y } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ \frac { v\left( { x }_{ 0 },y \right) -v\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)  }{ i\Delta y }  } =$$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x_{0},y)+i\,v(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x_{0}-x_{0})+i(y-y_{0})}}=}$

$$=v_{ y }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) -iu_{ y }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) $$

${\displaystyle =\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\,\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {v(x_{0},y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=$ahora igualando las respectivas partes reales e imaginarias se tiene

$$u_{ x }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) =v_{ y }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right)$$

$$u_{ y }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) =-v_{ x }\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) $$

conclusiones

si usted tiene solo la parte real o la parte imaginaria de una función de variable compleja usted puede encontrar la otra parte gracias a estas formulas

 

 

${\displaystyle ={\frac {1}{i}}\partial _{y}u((x_{0},y_{0}))+\partial _{y}v((x_{0},y_{0}))\equiv v_{y}(x_{0},y_{0})-i\,u_{y}(x_{0},y_{0})$