derivadas y composición de funciones

este dia veremos una ecuación que involucra polinomios derivadas y composición de funciones probablemente al lector al relacionar estas palabras piensa en la regla de la cadena lo cual si es correcto es decir usaremos la regla de la cadena ahora vamos a resolver el problema es el siguiente

encontrar polinomios tal que

$$p\prime \left( p\left( t \right)  \right) =p\left( p\prime \left( t \right)  \right)$$

comenzando por el caso mas sencillo es decir vamos a centrarnos en proponer un grado y a travez de los coeficientes de ambos lados los iremos igualando comenzando por el caso cuando p es constante es decir grado 0 tenemos que

$$p\left( t \right) =c,\quad c\in R$$

$$\Rightarrow p\prime \left( p\left( t \right)  \right) =p\left( p\prime \left( t \right)  \right) =0$$

$$\Rightarrow p\left( p\prime \left( t \right)  \right) =0$$

$$\Rightarrow p\left( 0 \right) =0$$

esto lo único que significa es que la solución cuando el polinomio es constante tiene un valor fijo y por lo tanto cuando el polinomio es de grado 0 o un polinomio constante solo lo cumple la función con las siguientes condiciones

$$p\left( t \right) =\begin{cases} c\quad ,\quad c\in R\quad ,\quad t\in R-\left\{ 0 \right\}  \\ 0\quad ,\quad t=0 \end{cases}$$

ahora vamos con el caso de grado igual a 1 es decir cuando el polinomio es lineal

tenemos que

$$p\left( t \right) =at+b$$

$$\Rightarrow p\prime \left( t \right) =a$$

$$\Rightarrow p\prime \left( p\left( t \right)  \right) =a=p\left( p\prime \left( t \right)  \right) ={ a }^{ 2 }+b$$

$$\Rightarrow a={ a }^{ 2 }+b$$

esto ultimo es la condición que deben cumplir los coeficientes de la función lineal para que sean solución a nuestra ecuación por lo tanto también de este hecho podemos decir que hay infinitos polinomios lineales que cumplen tales condiciones por lo tanto

$$p\left( t \right) =at+b\quad ,\quad a={ a }^{ 2 }+b\quad a,b\in R\\ $$

ahora el caso cuadrático es un poco mas complicado pero vamos a eso

$$p\left( t \right) =a{ t }^{ 2 }+bt+c\\ $$

$$\Rightarrow p\prime \left( t \right) =2at+b$$

$$\Rightarrow p\prime \left( p\left( t \right)  \right) =2a\left( a{ t }^{ 2 }+bt+c \right) +b$$

$$\Rightarrow p\left( p\prime \left( t \right)  \right) =a\left( 2at+b \right) ^{ 2 }+b\left( 2at+b \right) +c$$

$$p\prime \left( p\left( t \right)  \right) =p\left( p\prime \left( t \right)  \right) $$

$$\Rightarrow 2a\left( a{ t }^{ 2 }+bt+c \right) +b=a\left( 2at+b \right) ^{ 2 }+b\left( 2at+b \right) +c$$

 $$\Rightarrow 2{ a }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+2abt+2ac+b=a\left( 4{ a }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+4abt+{ b }^{ 2 } \right) +2abt+{ b }^{ 2 }+c$$

$$\Rightarrow 2{ a }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+2abt+2ac+b=4{ a }^{ 3 }{ t }^{ 2 }+4{ a }^{ 2 }bt+a{ b }^{ 2 }+2abt+{ b }^{ 2 }+c$$

$$\Rightarrow 2{ a }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+2abt+2ac+b=4{ a }^{ 3 }{ t }^{ 2 }+t\left( 4{ a }^{ 2 }b+2ab \right) +{ b }^{ 2 }+c$$

ahora igualando los coeficientes

se tiene

$$2{ a }^{ 2 }=4{ a }^{ 3 }$$

$$2ab=4{ a }^{ 2 }b+2ab$$

$$2ac+b={ b }^{ 2 }+c$$

ahora de la primera ecuación se deduce que

$$ a=\frac { 1 }{ 2 }$$

sustituyendo en los anteriores se tiene que

$$\Rightarrow b=b+b$$

$$\Rightarrow b={ b }^{ 2 }$$

lo cual implica que

$$\Rightarrow b=0$$

y c queda como constante arbritaria por lo tanto el polinomio de segundo grado que cumple tales condiciones es

$$p\left( t \right) =\frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } +c$$

donde c pertenece a los reales

ahora bien que pasa cuando el grado es 3 pues este caso es uno de mas complicados y como no si la dificultad aumenta significativamente yo no lo are pero si el lector quiere buscar tales polinomios las pistas son que tendría que diferenciar la ecuación unas 2 veces aplicando la regla de la cadena y solo existen 2 polinomios cúbicos que satisfacen la ecuación por lo tanto ahora como ultimo paso iremos a el caso n para este caso no podemos extendernos a complicaciones porque el problema se aria muy complicado por lo tanto para el caso n se tiene que

$$p\left( t \right) =a{ t }^{ n }$$

$$\Rightarrow p\prime \left( t \right) =an{ t }^{ n-1 }$$

$$p\left( p\prime \left( t \right)  \right) =a\left( an{ t }^{ n-1 } \right) ^{ n }$$

$$p\prime \left( p\left( t \right)  \right) =an\left( at^{ n } \right) ^{ n-1 }$$

$$p\left( p\prime \left( t \right)  \right) =p\prime \left( p\left( t \right)  \right)$$

$$\Rightarrow a\left( an{ t }^{ n-1 } \right) ^{ n }=an\left( at^{ n } \right) ^{ n-1 }$$

$$\Rightarrow a^{ n+1 }{ n }^{ n }{ t }^{ n\left( n-1 \right)  }=a^{ n }n{ t }^{ n\left( n-1 \right)  }\\ $$

$$\Rightarrow a=\frac { 1 }{ n^{ n-1 } } $$

por lo tanto el siguiente polinomio cumple las condiciones

$$p\left( t \right) =\frac { t^{ n } }{ n^{ n-1 } } $$

muchas gracias por ver no dude en preguntarme lo que quiera en el foro y sígueme si te gustan las matemáticas

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