ecuacion funcional polinomica

en este blog he traído muchos artículos sobre ecuaciones funcionales y ahora traigo un articulo que involucra ecuaciones funcionales polinomicas

resolveremos el siguiente problema

encontrar todos los polinomios tal que

$$f\left(x^2\right)+f\left(x\right)f(x+1)=0$$

primero suponiendo que la función es constante se tiene que

$$f\left(x\right)=c,c\in R$$

$$\Rightarrow c+c^2=0$$

$$\Rightarrow c=0,c=-1$$

ahora bien a partir de aquí sustituyamos x=0

$$\Rightarrow f\left(0\right)+f\left(0\right)f\left(1\right)=0$$

$$\Rightarrow f\left(0\right)(f\left(1\right)+1)=0$$

$$\Rightarrow f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=-1$$

ahora bien el segundo caso coincide con el caso cuando la función es constante y equivale a menos 1 ahora buscando las raíces de la ecuación se tiene que

supongamos que r es una raíz de el polinomio entonces esto quiere decir que

$$f\left(r^2\right)+f\left(r\right)f(r+1)=0,f\left(r\right)=0$$

$$\Rightarrow f\left(r^2\right)=0$$

de este resultado se deduce que si r es una raíz entonces también lo es la siguiente sucesión

$$r,r^2,r^4,r^8...$$

como tiene infinitas soluciones haremos que solo

$$|r|$$

tenga los valores de 0 y 1 por lo tanto gracias a este resultado podemos deducir que también una raíz es

$${(r-1)}^2$$

es una raíz de el polinomio por lo tanto anteriormente aviamos visto que una raíz de la función es 0 por lo tanto gracias a este resultado se deduce que también una raíz es 1 por lo tanto la función tiene la forma

$$f\left(x\right)=a{x}^m{(x-1)}^n$$

si sustituimos en la ecuación encontramos que

$$a=-1,m=n$$

por lo tanto el conjunto solución de la ecuación funcional esta dado por

$$f\left(x\right)=-x^n{(x-1)}^n$$

por lo tanto hemos terminado gracias por ver