ecuacion funcional polinomica

en este blog he traído muchos artículos sobre ecuaciones funcionales y ahora traigo un articulo que involucra ecuaciones funcionales polinomicas

resolveremos el siguiente problema

encontrar todos los polinomios tal que

$$f\left( { x }^{ 2 } \right) +f\left( x \right) f\left( x+1 \right) =0$$

primero suponiendo que la función es constante se tiene que

$$f\left( x \right) =c\quad ,\quad c\in R$$

$$\Rightarrow c+{ c }^{ 2 }=0$$

$$\Rightarrow \quad c=0\quad ,\quad c=-1$$

ahora bien a partir de aquí sustituyamos x=0

$$\Rightarrow f\left( 0 \right) +f\left( 0 \right) f\left( 1 \right) =0$$

$$\Rightarrow f\left( 0 \right) \left( f\left( 1 \right) +1 \right) =0$$

$$\Rightarrow \quad f\left( 0 \right) =0\quad ,\quad f\left( 1 \right) =-1$$

ahora bien el segundo caso coincide con el caso cuando la función es constante y equivale a menos 1 ahora buscando las raíces de la ecuación se tiene que

supongamos que r es una raíz de el polinomio entonces esto quiere decir que

$$f\left( { r }^{ 2 } \right) +f\left( r \right) f\left( r+1 \right) =0\quad ,\quad f\left( r \right) =0$$

$$\Rightarrow f\left( r^{ 2 } \right) =0$$

de este resultado se deduce que si r es una raíz entonces también lo es la siguiente sucesión

$$r,{ r }^{ 2 },{ r }^{ 4 },{ r }^{ 8 }...$$

como tiene infinitas soluciones haremos que solo

$$|r|$$

tenga los valores de 0 y 1 por lo tanto gracias a este resultado podemos deducir que también una raíz es

$$\left( r-1 \right) ^{ 2 }$$

es una raíz de el polinomio por lo tanto anteriormente aviamos visto que una raíz de la función es 0 por lo tanto gracias a este resultado se deduce que también una raíz es 1 por lo tanto la función tiene la forma

$$f\left( x \right) =a{ x }^{ m }\left( x-1 \right) ^{ n }$$

si sustituimos en la ecuación encontramos que

$$a=-1\quad ,\quad m=n$$

por lo tanto el conjunto solución de la ecuación funcional esta dado por

$$f\left( x \right) =-{ x }^{ n }\left( x-1 \right) ^{ n }$$

por lo tanto hemos terminado gracias por ver