suma de los numeros naturales elevados a la n
en este dia dare a conocer una de las propiedades de las sumas de los números naturales elevados a la n cabe decir que este método es muy fácil de demostrarse usando también la inducción y claro daremos un ejemplo de como usarse
comenzando tenemos que
$$\left( n+1 \right) ^{ r }=\sum _{ k=0 }^{ r }{ \left( \begin{matrix} r \\ k \end{matrix} \right) } n^{ k }$$
ahora vamos a reescribirlo de la siguiente manera
$${ \left( n+1 \right) }^{ r }-{ n }^{ r }=\sum _{ k=0 }^{ r-1 }{ \left( \begin{matrix} r \\ k \end{matrix} \right) { n }^{ k } } $$
ahora sumemos a partir de n igual a 1 hasta un numero
$${ 2 }^{ r+1 }-1=\sum _{ k=0 }^{ r }{ \left( \begin{matrix} r+1 \\ k \end{matrix} \right) } $$
$${ 3 }^{ r+1 }-{ 2 }^{ r+1 }=\sum _{ k=0 }^{ r }{ \left( \begin{matrix} r+1 \\ k \end{matrix} \right) } { 2 }^{ k }$$
$$\vdots$$
$$\left( j+1 \right) ^{ r+1 }-{ j }^{ r }=\sum _{ k=0 }^{ r }{ \left( \begin{matrix} r+1 \\ k \end{matrix} \right) } j^{ k }$$
ahora como la suma es una suma telecospica se tiene que solo quedaran 2 términos y por el otro lado tenemos
$${ \left( j+1 \right) }^{ r+1 }-1=\sum _{ k=0 }^{ r }{ q_{ k } } { s }_{ k }$$
$$\Rightarrow { \left( j+1 \right) }^{ r+1 }-j-1=\sum _{ k=1 }^{ r }{ { q }_{ k } } { s }_{ k }$$
$$q_{ k }=\left( \begin{matrix} r+1 \\ k \end{matrix} \right) $$
$${ s }_{ k }={ 1 }^{ k }+{ 2 }^{ k }+{ 3 }^{ k }\dots +{ j }^{ k }$$
ahora como vemos anteriormente daremos una unos ejemplos
para el caso r igual a 1 tenemos que
$$r=1$$
$$\Rightarrow \left( j+1 \right) ^{ 2 }-j-1=q_{ 1 }{ s }_{ 1 }$$
$${ q }_{ 1 }=\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) =2$$
$$\Rightarrow j\left( j+1 \right) =2{ s }_{ 1 }\\ $$
$$\Rightarrow \frac { j\left( j+1 \right) }{ 2 } ={ s }_{ 1 }$$
lo cual es cierto ya que
$${ s }_{ 1 }=1+2+3+4\dots +j=\frac { j\left( j+1 \right) }{ 2 }$$
por lo tanto usted puede hacerlo para cualquier valor de r muchas gracias por su atención
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