suma de los numeros naturales elevados a la n

suma de los numeros naturales elevados a la n

en este dia dare a conocer una de las propiedades de las sumas de los números naturales elevados a la n cabe decir que este método es muy fácil de demostrarse usando también la inducción y claro daremos un ejemplo de como usarse

comenzando tenemos que

$${(n+1)}^r=\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}r\\ k\end{array}\right)n^k$$

ahora vamos a reescribirlo de la siguiente manera

$${(n+1)}^r-n^r=\sum _{k=0}^{r-1}\left(\begin{array}{c}r\\ k\end{array}\right)n^k$$

ahora sumemos a partir de n igual a 1 hasta un numero

$$2^{r+1}-1=\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}r+1\\ k\end{array}\right)$$

$$3^{r+1}-2^{r+1}=\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}r+1\\ k\end{array}\right)2^k$$

$$⋮$$

$${(j+1)}^{r+1}-j^r=\sum _{k=0}^r\left(\begin{array}{c}r+1\\ k\end{array}\right)j^k$$

ahora como la suma es una suma telecospica se tiene que solo quedaran 2 términos y por el otro lado tenemos

$${(j+1)}^{r+1}-1=\sum _{k=0}^r{q}_k{s}_k$$

$$\Rightarrow {(j+1)}^{r+1}-j-1=\sum _{k=1}^r{q}_k{s}_k$$

$$q_k=\left(\begin{array}{c}r+1\\ k\end{array}\right)$$

$$s_k=1^k+2^k+3^k\cdots +j^k$$

ahora como vemos anteriormente daremos una unos ejemplos

para el caso r igual a 1 tenemos que

$$r=1$$

$$\Rightarrow {(j+1)}^2-j-1=q_1{s}_1$$

$$q_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=2$$

$$\Rightarrow j(j+1)=2s_1$$

$$\Rightarrow \frac{j(j+1)}{2}=s_1$$

lo cual es cierto ya que

$$s_1=1+2+3+4\cdots +j=\frac{j(j+1)}{2}$$

por lo tanto usted puede hacerlo para cualquier valor de r muchas gracias por su atención