inecuacion de Nesbitt

inecuacion de Nesbitt

este dia demostrare la siguiente desigualdad llamada inecuación o desigualdad de nesbitt

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$

para empezar a demostrar utilizaremos la desigualdad AMGM

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$

ahora consideremos las siguientes expresiones

 $$S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$$

$$M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}$$

$$N=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}$$

ahora tenemos que

$$M+N=3$$

ahora haciendo las siguientes sumas y aplicándoles AMGM se tiene

$$M+S=\frac{b+a}{b+c}+\frac{c+b}{c+a}+\frac{a+c}{a+b}\ge 3$$

$$N+S=\frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}\ge 3$$

por lo tanto tenemos que

$$M+N+2S\ge 3$$

$$\Rightarrow 2S\ge 3$$

$$\Rightarrow S\ge \frac{3}{2}$$

por lo tanto la prueba ha acabado Gracias por su atención