inecuacion de Nesbitt
este dia demostrare la siguiente desigualdad llamada inecuación o desigualdad de nesbitt
$$\frac { a }{ b+c } +\frac { b }{ a+c } +\frac { c }{ a+b } \ge \frac { 3 }{ 2 }$$
para empezar a demostrar utilizaremos la desigualdad AMGM
$$\frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy }$$
ahora consideremos las siguientes expresiones
$$S=\frac { a }{ b+c } +\frac { b }{ a+c } +\frac { c }{ a+b }$$
$$M=\frac { b }{ b+c } +\frac { c }{ a+c } +\frac { a }{ a+b }$$
$$N=\frac { c }{ b+c } +\frac { a }{ a+c } +\frac { b }{ a+b }$$
ahora tenemos que
$$M+N=3$$
ahora haciendo las siguientes sumas y aplicándoles AMGM se tiene
$$M+S=\frac { b+a }{ b+c } +\frac { c+b }{ c+a } +\frac { a+c }{ a+b } \ge 3$$
$$N+S=\frac { c+a }{ c+b } +\frac { a+b }{ c+a } +\frac { b+c }{ a+b } \ge 3$$
por lo tanto tenemos que
$$M+N+2S\ge 3$$
$$ \Rightarrow 2S\ge 3$$
$$\Rightarrow S\ge \frac { 3 }{ 2 }$$
por lo tanto la prueba ha acabado Gracias por su atención
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