aplicacion del criterio de eisenstein

este dia daremos una aplicacion del criterio de eisenstein el problema dice lo siguiente
sea
$$p$$
un numero primo por lo tanto demuestre que el polinomio
$${ x }^{ p-1 }+{ x }^{ p-2 }+\dots x+1$$
es iireducible sobre los racionales
antes de utilizar el criterio tengamos en ccuenta una propiedad del criterio y es que si hacemos una sustitucion del tipo
$$x=s+1$$
aunque este en funcion de s el polinomio original aun asi es valido utilizar el criterio de eiseintein por lo tanto primero tenemos que
$${ x }^{ p-1 }+{ x }^{ p-2 }+\dots x+1=\frac { { x }^{ p }-1 }{ x-1 }$$
ahora haciendo el cambio
$$x=s+1$$
se tiene que
$$\frac { { \left( s+1 \right)  }^{ p }-1 }{ s }$$
como
$$\sum _{ k=0 }^{ p }{ \left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right)  } s^{ k }$$
ahora restandole uno se tiene que
$$\sum _{ k=1 }^{ p }{ \left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right)  } s^{ k }$$

ahora si se divide por p tenemos que
$$\sum _{ k=1 }^{ p }{ \left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right)  } s^{ k-1 }$$
y si nos fijamos bien el anterior polinomio en funcion de s cumple las condiciones de el criterio de eisenstein por lo tanto el polinomio
$${ x }^{ p-1 }+{ x }^{ p-2 }+\dots x+1$$
es irreducible sobre los racionales