aplicacion del criterio de eisenstein

este dia daremos una aplicacion del criterio de eisenstein el problema dice lo siguiente
sea
$$p$$
un numero primo por lo tanto demuestre que el polinomio
$$x^{p-1}+x^{p-2}+\dots x+1$$
es iireducible sobre los racionales
antes de utilizar el criterio tengamos en ccuenta una propiedad del criterio y es que si hacemos una sustitucion del tipo
$$x=s+1$$
aunque este en funcion de s el polinomio original aun asi es valido utilizar el criterio de eiseintein por lo tanto primero tenemos que
$$x^{p-1}+x^{p-2}+\dots x+1=\frac{x^p-1}{x-1}$$
ahora haciendo el cambio
$$x=s+1$$
se tiene que
$$\frac{{(s+1)}^p-1}{s}$$
como
$$\sum _{k=0}^p\left(\begin{array}{c}p\\ k\end{array}\right)s^k$$
ahora restandole uno se tiene que
$$\sum _{k=1}^p\left(\begin{array}{c}p\\ k\end{array}\right)s^k$$

ahora si se divide por p tenemos que
$$\sum _{k=1}^p\left(\begin{array}{c}p\\ k\end{array}\right)s^{k-1}$$
y si nos fijamos bien el anterior polinomio en funcion de s cumple las condiciones de el criterio de eisenstein por lo tanto el polinomio
$$x^{p-1}+x^{p-2}+\dots x+1$$
es irreducible sobre los racionales