Demostracion de la desigualdad AMGM

Demostración de la desigualdad AMGM

una desigualdad es una forma de expresar que algo es mayor o menor a otra cosa de manera mas formal esto se dice que una expresion esta acotada por arriba o por abajo o tambien se lee como si algo tiene una cota superior o inferior

en este caso la desigualdad AMGM relaciona la suma de tantos numeros con el producto de los mismos numeros el caso mas facil de la desigualdad es la siguiente

$$\frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy }$$

como demostraremos la desigualdad AMGM por inducción tenemos que demostrar este caso de la desigualdad por lo tanto para demostrarse se tiene lo siguiente

$$x\ge y$$
$$\Rightarrow \sqrt { x } \ge \sqrt { y }$$
$$\Rightarrow \sqrt { x } -\sqrt { y } \ge 0$$
$$\Rightarrow { \left( \sqrt { x } -\sqrt { y }  \right)  }^{ 2 }\ge 0$$
$$\Rightarrow x-2\sqrt { xy } +y\ge 0$$
$$\Rightarrow x+y\ge 2\sqrt { xy }$$
$$\Rightarrow \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy }$$

esta no es la unica manera de demostrarse tambien se puede demostrar de una manera diferente pero antes de demostrarse de otra manera se tendria que poner una condicion y esque la desigualdad AMGM solo esta definida para numeros reales positivos para definirse en los negativos o en los complejos se tendria que tener mucho mas cuidado por lo tanto como solo se definira para los reales pasemos a la segunda forma de demostrarse

definamos el siguiente polinomio tal que su discriminante sea positivo
$${ t }^{ 2 }+t\left( x+y \right) +xy$$
donde x y y pertenecen a los reales positivos
por lo tanto su discriminante es
$$\Delta ={ \left( x+y \right)  }^{ 2 }-4xy$$
como el discriminante debe ser positivo tenemos que
$$\Delta ={ \left( x+y \right)  }^{ 2 }-4xy\ge 0$$
$$\Rightarrow { \left( x+y \right)  }^{ 2 }-4xy\ge 0$$
$$\Rightarrow { \left( x+y \right)  }^{ 2 }\ge 4xy$$
$$\Rightarrow x+y\ge 2\sqrt { xy }$$
$$\Rightarrow \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy }$$
interesante e increíble no pues bien ahora demostremos la desigualdad para el caso general el cual dice lo siguiente
defínanse los siguientes números como números reales positivos

$${ a }_{ 1 },{ a }_{ 2 },{ a }_{ 3 }\dots { a }_{ n }$$
por lo tanto se cumple que
$$\frac { a_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots +{ a }_{ n } }{ n } \ge \sqrt { { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ n } }$$
demostración

se tiene por hipótesis que
$$\frac { a_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots +{ a }_{ n } }{ n } \ge \sqrt { { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ n } }$$
por lo tanto si se cumple para un numero n entonces también se tiene que cumplir para un numero 2n por lo tanto
$$\frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ 2n } }{ 2n } \ge \sqrt [ 2n ]{ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ 2n } }$$
reescribiendo se tiene que
$$\frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ 2n } }{ 2n } =\frac { \frac { \left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ n } \right)  }{ n } +\frac { \left( { a }_{ n+1 }+{ a }_{ n+2 }+\dots { a }_{ 2n } \right)  }{ n }  }{ 2 } $$
aplicando la desigualdad
$$\Rightarrow \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy }$$
se tiene que
$$\frac { \frac { \left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ n } \right)  }{ n } +\frac { \left( { a }_{ n+1 }+{ a }_{ n+2 }+\dots { a }_{ 2n } \right)  }{ n }  }{ 2 } \ge \sqrt { \left( \frac { \left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ n } \right)  }{ n }  \right) \left( \frac { \left( { a }_{ n+1 }+{ a }_{ n+2 }+\dots { a }_{ 2n } \right)  }{ n }  \right)  }$$
ahora aplicando la hipótesis
$$\frac { a_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots +{ a }_{ n } }{ n } \ge \sqrt { { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ n } }$$
se tiene que
$$\sqrt { \left( \frac { \left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ n } \right)  }{ n }  \right) \left( \frac { \left( { a }_{ n+1 }+{ a }_{ n+2 }+\dots { a }_{ 2n } \right)  }{ n }  \right)  } \ge \sqrt { \left( \sqrt [ n ]{ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ n } }  \right) \left( \sqrt [ n ]{ { a }_{ n+1 }{ a }_{ n+2 }\dots { a }_{ 2n } }  \right)  }$$
$$=\sqrt [ 2n ]{ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ 2n } }$$
lo cual implica
$$\frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+\dots { a }_{ 2n } }{ 2n } \ge \sqrt [ 2n ]{ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }\dots { a }_{ 2n } }$$
por lo tanto la prueba ha terminado Gracias por ver y siguenos si le gusta este tipo de contenido y siguenos y dele like a nuestra pagina de facebook