Demostracion de la desigualdad AMGM

Demostración de la desigualdad AMGM

una desigualdad es una forma de expresar que algo es mayor o menor a otra cosa de manera mas formal esto se dice que una expresion esta acotada por arriba o por abajo o tambien se lee como si algo tiene una cota superior o inferior

en este caso la desigualdad AMGM relaciona la suma de tantos numeros con el producto de los mismos numeros el caso mas facil de la desigualdad es la siguiente

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$

como demostraremos la desigualdad AMGM por inducción tenemos que demostrar este caso de la desigualdad por lo tanto para demostrarse se tiene lo siguiente

$$x\ge y$$
$$\Rightarrow \sqrt{x}\ge \sqrt{y}$$
$$\Rightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y}\ge 0$$
$$\Rightarrow {(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^2\ge 0$$
$$\Rightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge 0$$
$$\Rightarrow x+y\ge 2\sqrt{xy}$$
$$\Rightarrow \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$

esta no es la unica manera de demostrarse tambien se puede demostrar de una manera diferente pero antes de demostrarse de otra manera se tendria que poner una condicion y esque la desigualdad AMGM solo esta definida para numeros reales positivos para definirse en los negativos o en los complejos se tendria que tener mucho mas cuidado por lo tanto como solo se definira para los reales pasemos a la segunda forma de demostrarse

definamos el siguiente polinomio tal que su discriminante sea positivo
$$t^2+t(x+y)+xy$$
donde x y y pertenecen a los reales positivos
por lo tanto su discriminante es
$$\mathrm{\Delta }={(x+y)}^2-4xy$$
como el discriminante debe ser positivo tenemos que
$$\mathrm{\Delta }={(x+y)}^2-4xy\ge 0$$
$$\Rightarrow {(x+y)}^2-4xy\ge 0$$
$$\Rightarrow {(x+y)}^2\ge 4xy$$
$$\Rightarrow x+y\ge 2\sqrt{xy}$$
$$\Rightarrow \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$
interesante e increíble no pues bien ahora demostremos la desigualdad para el caso general el cual dice lo siguiente
defínanse los siguientes números como números reales positivos

$$a_1,a_2,a_3\dots a_n$$
por lo tanto se cumple que
$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt{a_1{a}_2\dots a_n}$$
demostración

se tiene por hipótesis que
$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt{a_1{a}_2\dots a_n}$$
por lo tanto si se cumple para un numero n entonces también se tiene que cumplir para un numero 2n por lo tanto
$$\frac{a_1+a_2+\dots a_{2n}}{2n}\ge \sqrt[2n]{a_1{a}_2\dots a_{2n}}$$
reescribiendo se tiene que
$$\frac{a_1+a_2+\dots a_{2n}}{2n}=\frac{\frac{(a_1+a_2+\dots a_n)}{n}+\frac{(a_{n+1}+a_{n+2}+\dots a_{2n})}{n}}{2}$$
aplicando la desigualdad
$$\Rightarrow \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$
se tiene que
$$\frac{\frac{(a_1+a_2+\dots a_n)}{n}+\frac{(a_{n+1}+a_{n+2}+\dots a_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt{\left(\frac{(a_1+a_2+\dots a_n)}{n}\right)\left(\frac{(a_{n+1}+a_{n+2}+\dots a_{2n})}{n}\right)}$$
ahora aplicando la hipótesis
$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt{a_1{a}_2\dots a_n}$$
se tiene que
$$\sqrt{\left(\frac{(a_1+a_2+\dots a_n)}{n}\right)\left(\frac{(a_{n+1}+a_{n+2}+\dots a_{2n})}{n}\right)}\ge \sqrt{\left(\sqrt[n]{a_1{a}_2\dots a_n}\right)\left(\sqrt[n]{a_{n+1}{a}_{n+2}\dots a_{2n}}\right)}$$
$$=\sqrt[2n]{a_1{a}_2\dots a_{2n}}$$
lo cual implica
$$\frac{a_1+a_2+\dots a_{2n}}{2n}\ge \sqrt[2n]{a_1{a}_2\dots a_{2n}}$$
por lo tanto la prueba ha terminado Gracias por ver y siguenos si le gusta este tipo de contenido y siguenos y dele like a nuestra pagina de facebook