polinomios irreducibles y criterio de eisentein

este dia demostraremos uno de los criterios mas importantes para olimpiada el criterio dice lo siguiente que si tenemos un polinomio de grado mayor o igual a 3 porque 3 pues porque hay algunos polinomios lineales y cuadráticos que no cumplen el criterio bueno como decía si tenemos un polinomio de grado mayor o igual a 3 como el siguiente

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} \dots a_{0}$

con coeficientes enteros,si entonces el polinomio cumple que si existe un numero primo p tal que

$p | a_{k}, 0 \leq k \leq n - 1$

$p^{2} | a_{0}$

p no divide a

$a_{n}$

entonces el polinomio es irreducible sobre los racionales ahora vamos a demostrarlo

primero se demostrara por contradicción por lo tanto se tiene que asumir polinomio es irreducible por lo tanto se
$f (x) = g (x) h (x)$
entonces especificando un poco mas se tiene
$f (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} \dots + c_{0}$
$g (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} \dots + a_{0}$
$h (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} \dots + b_{0}$
ok ahora encontrando los

$c_{k}$

se tiene la siguiente formula
$c_{k} = a_{k} b_{0} + a_{k - 1} b_{1} + \dots a_{0} b_{k} 0 \leq k \leq n$
por lo tanto ahora como

$p | a_{k}, 0 \leq k \leq n - 1$

una de las sucesiones de

$a_{k}, b_{k}$
una de esas sucesiones tiene que ser dividida por p ,digamos que

$p | a_{k}$

y p no divide a

$b_{k}$

ahora como el máximo común divisor de todos los coeficientes de

$f (x)$

es 1 llegara un valor digamos

$a_{j}$

al que p no dividirá por lo tanto se tiene que
$p | c_{j} = p | a_{0} b_{j} + a_{1} b_{j - 1} + \dots a_{j} b_{0}$
y como p no divide a

$a_{j}$

implica que

$p | b_{0}$

lo cual es una contradicción de asumir que

$f (x)$

era reducible por lo tanto queda concluido que si

$f (x)$

cumple las anteriores condiciones es irreducible

como una aclaración el criterio de eisentein tambien tiene una variante la cual es la siguiente:
si un polinomio digamos
$f (x) = a_{2 m + 1} x^{2 m + 1} + a_{2 m} x^{2 m} \dots + a_{0}$
con
$m \geq 1$
y cumpliendo las siguientes condiciones
$p^{3} n o d i v i d e a a_{0}$
$p n o d i v i d e a a_{2 m + 1}$
$p | a_{i} (m + 1 \leq i \leq 2 m)$
$p^{2} | a_{j} (0 \leq j \leq m)$
por lo tanto
$f (x)$
es irreducible
esta variante también es correcta y quise incluirla y también puede ser probada como el propio y original criterio de eisentein queda aclarar que este criterio también se interpretan como las condiciones suficientemente fuertes para que un polinomio fuera irreducible

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