polinomios irreducibles y criterio de eisentein

polinomios irreducibles y criterio de eisentein

 

polinomios irreducibles y criterio de eisentein

este dia demostraremos uno de los criterios mas importantes para olimpiada el criterio dice lo siguiente que si tenemos un polinomio de grado mayor o igual a 3 porque 3 pues porque hay algunos polinomios lineales y cuadráticos que no cumplen el criterio bueno como decía si tenemos un polinomio de grado mayor o igual a 3 como el siguiente

$$f\left( x \right) ={ a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }\dots { a }_{ 0 }$$

con coeficientes enteros,si entonces el polinomio cumple que si existe un numero primo p tal que

$$p|{ a }_{ k }\quad ,\quad 0\le k\le n-1$$

$${ p }^{ 2 }|{ a }_{ 0 }$$

p no divide a

$${ a }_{ n }$$

entonces el polinomio es irreducible sobre los racionales ahora vamos a demostrarlo

primero se demostrara por contradicción por lo tanto se tiene que asumir polinomio es irreducible por lo tanto se
$$f\left( x \right)=g\left( x \right)h\left( x \right)$$
entonces especificando un poco mas se tiene
$$f\left( x \right) ={ c }_{ n }{ x }^{ n }+{ c }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }\dots +{ c }_{ 0 }$$
$$g\left( x \right) ={ a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }\dots +{ a }_{ 0 }$$
$$h\left( x \right) ={ b }_{ n }{ x }^{ n }+{ b }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }\dots +{ b }_{ 0 }$$
ok ahora encontrando los

$$c_{ k }$$

 se tiene la siguiente formula
$$c_{ k }={ a }_{ k }{ b }_{ 0 }+{ a }_{ k-1 }{ b }_{ 1 }+\dots { a }_{ 0 }{ b }_{ k }\quad 0\le k\le n$$
por lo tanto ahora como

  $$p|{ a }_{ k }\quad ,\quad 0\le k\le n-1$$

 una de las sucesiones de

 $${ a }_{ k },{ b }_{ k }$$
una de esas sucesiones tiene que ser dividida por p ,digamos que

$$p|{ a }_{ k }$$

 y p no divide a

 $${ b }_{ k }$$

 ahora como el máximo común divisor de todos los coeficientes de

$$f\left( x \right)$$

 es 1 llegara un valor digamos

$${ a }_{ j }$$

 al que p no dividirá por lo tanto se tiene que
$$p|{ c }_{ j }=p|{ a }_{ 0 }{ b }_{ j }+{ a }_{ 1 }{ b }_{ j-1 }+\dots { a }_{ j }{ b }_{ 0 }$$
y como p no divide a

 $${ a }_{ j }$$

implica que

$$p|{ b }_{ 0 }$$

lo cual es una contradicción de asumir que

$$f\left( x \right)$$

era reducible por lo tanto queda concluido que si

$$f\left( x \right)$$

 cumple las anteriores condiciones es irreducible

como una aclaración el criterio de eisentein tambien tiene una variante la cual es la siguiente:
si un polinomio digamos
$$f\left( x \right) ={ a }_{ 2m+1 }{ x }^{ 2m+1 }+{ a }_{ 2m }{ x }^{ 2m }\dots +{ a }_{ 0 }$$
con
$$m\ge 1$$
y cumpliendo las siguientes condiciones
$$p^{ 3 }\quad no\quad divide\quad a\quad { a }_{ 0 }$$
$$p\quad no\quad divide\quad a\quad { a }_{ 2m+1 }$$
$$p|{ a }_{ i }\quad \left( m+1\le i\le 2m \right)$$
$${ p }^{ 2 }|{ a }_{ j }\quad \left( 0\le j\le m \right)$$
por lo tanto
$$f\left( x \right)$$
es irreducible
esta variante también es correcta y quise incluirla y también puede ser probada como el propio y original criterio de eisentein queda aclarar que este criterio también se interpretan como las condiciones suficientemente fuertes para que un polinomio fuera irreducible