estrategias en la factorización de polinomios cuadráticos

la factorización es la forma en la que pasa un polinomio de suma de potencias a productos de factores lineales. la factorización se aplica a todo tipo de funciones
sin importar su cantidad de raices o su grado. la factorizacion puede usarse en cualquier comento el unico inconveniente es la necesidad de calcular las raices porque ese es coeficiente constante de los factores lineales para poder vizualizar o entender bien lo que se quiere decir es necesario conocer el teorema fundamental del algebra que dice lo siguiente

cualquier polinomio de grado n puede escribirse de la siguiente manera
$${ a }_{ n }\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \left( x-{ x }_{ 2 } \right) \dots \left( x-{ x }_{ n } \right)$$
y tiene exactamente n raices complejas y hay n factores lineales

no es necesario calcular las raices en el caso que no se necesite pero es bueno saber como calcular tales raices porque muchas veces los problemas matematicos se reducen a calcular raices

el porque calcular raices es algo dificil de responder ya que solo es una idea no es algo que tenga que usarse en ocasiones especificas, es decir uno deberia saber en que momento calcular raices si se conviene calcular, ya si es un ejercisio o un problema te pide calcular raices pues a calcular pero si es un problema es mejor solamente probar si usando las raices se resuelve tal problema

luego de aber aclarado

comenzando con las estrategias primero debemos darnos cuenta si el polinomio es por lo menos reducible en los racionales para saber esto se puede usar el criterio de einsteinen que dice que si un polinomio con coeficientes enteros cumple con las siguientes condiciones
$$f\left( x \right) ={ a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }\dots { a }_{ 0 }$$
si existe un numero primo p tal que

$$p|{ a }_{ k }\quad ,\quad 0\le k\le n-1$$

$${ p }^{ 2 }|{ a }_{ 0 }$$

p no divide a

$${ a }_{ n }$$
entonces entonces el polinomio es irreducible sobre los racionales

como una aclaracion el significado de la expresion reducible sobre los racionales se interpreta como no existe ni una sola raiz de el polinomio que pertenecezcan a los racionales o que ninguna de sus raices sea racional, tambien entiendase que un racional es una fraccion de dos numeros enteros siendo ambos numeros distintos de cero

ahora como sabemos que polinomio es reducible sobre enteros se entiende que como minimo una de las raices de un polinomio es un entero
comenzando con el caso mas sencillo el cual es el polinomio cuadratico

lo que se ara con el polinomio cuadratico sera simplemente demostrar una propiedad para darnos una idea de que condiciones deba tener un polinomio en general para ser reducible en enteros

lo primero que tenemos es el polinomio
$$a{ x }^{ 2 }+bx+c$$
ahora lo que aremos será
$$\frac { a }{ a } \left( a{ x }^{ 2 }+bx+c \right)$$
$$\Rightarrow ={ a }^{ -1 }\left( { \left( ax \right)  }^{ 2 }+b\left( ax \right) +ac \right)$$
$$ t=ax   , \Rightarrow ={ a }^{ -1 }\left( { t }^{ 2 }+bt+ac \right)$$
$$\Rightarrow ={ a }^{ -1 }\left( t+u \right) \left( t+v \right)$$
ahora lo que podemos observar esque a divide a uno de los números de u y v y sabemos que uv es igual a ac por lo tanto se deduce que
$$w=gcd\left( a,u \right) ,\quad a=wz,\quad u=wy$$
por lo tanto tenemos que
$$a|vwz,\quad z|vy$$
$$\Rightarrow \quad gcd\left( z,y \right) =1,\quad z|v$$
$$\Rightarrow \quad a{ x }^{ 2 }+bx+c=\left[ zx+\left( \frac { u }{ w }  \right)  \right] \left[ wt+\left( \frac { v }{ z }  \right)  \right]$$
esta propiedad es solamente de el polinomio cuadrático con el cubico en adelante la cosa se complica demasiado

mas adelante publicare mas artículos sobre la factorización sobre enteros para polinomios de cualquier grado en general por mi parte esto ha sido todo gracias por favor no dude en seguirnos y darle like a nuestra pagina en facebook

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