estrategias en la reducibilidad de polinomios cúbicos y cuarticos sobre los enteros

hola anteriormente abia hecho un articulo dando a conocer una propiedad de los polinomios cuadráticos al ser reducibles sobre los enteros ahora tocara ablar sobre cúbicos y cuarticos y una propiedad en general de cualquier polinomio

la propiedad que esta relacionada con la irreductibilidad de polinomios cúbicos es la siguiente

demostrar que un polinomio monico reducible sobre los racionales tiene raíces enteras

prueba:

$$\Rightarrow { x }^{ 3 }+a{ x }^{ 2 }+bx+c$$

como el primer coeficiente vale 1 tenemos que puede ser factorizado de la siguiente manera

$$\Rightarrow =\left( x-s \right) \left( x-t \right) \left( x-r \right)$$

como tiene que ser reducible sobre racionales tenemos que las raíces deben ser enteras por lo tanto la prueba ha terminado

para ver un ejemplo véase el siguiente polinomio
$${ t }^{ 3 }-8{ t }^{ 2 }+33t-42$$
primero veamos que cumpla el criterio de einsteinen que dice lo siguiente
si tenemos un polinomio de n como el siguiente

$$f\left( x \right) ={ a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }\dots { a }_{ 0 }$$

con coeficientes enteros,si entonces el polinomio cumple que si existe un numero primo p tal que

$$p|{ a }_{ k }\quad ,\quad 0\le k\le n-1$$

$${ p }^{ 2 }|{ a }_{ 0 }$$

p no divide a

$${ a }_{ n }$$

entonces el polinomio es irreducible sobre los racionales
ahora aplicándolo a el polinomio vemos que
$$mcd\left( 8,33,42 \right) =1$$
por lo tanto como ni siquiera cumple la primera condición queda concluido que el polinomio es reducible ahora reduciéndolo en 2 factores se tiene que
$$\Rightarrow { t }^{ 3 }-8{ t }^{ 2 }+33t-42=\left( x-2 \right) \left( { x }^{ 2 }-6x+21 \right)$$

ahora con la segunda propiedad mas general de los polinomios se tiene que
demostrar que si un polinomio es igual a el producto de dos factores polinómicos el grado de uno de sus dos factores polinómicos es menor que n/2

prueba:
como un polinomio es el producto de dos factores tenemos que
$$p\left( x \right) =g\left( x \right) h\left( x \right)$$
ahora sus respectivos grados son
$$deg\left( g\left( x \right)  \right) =s$$
$$deg\left( h\left( x \right)  \right) =t$$
$$\Rightarrow deg\left( g\left( x \right)  \right) +deg\left( h\left( x \right)  \right) =s+t=n$$
supongase que
$$t\le s$$
$$\Rightarrow 2t\le s+t$$
$$\Rightarrow t\le \frac { s+t }{ 2 }$$
$$\Rightarrow t\le \frac { n }{ 2 }$$

la prueba ha terminado

este ultimo dato que obtuvimos se interpreta como el menor grado de los factores de un polinomio es menor que n/2 a partir de aquí pueden salir muchas variantes de este hecho pero sin duda esta es la mas simple y general de todas

ahora presentare una forma de factorizar polinomios el cual es el método de coeficientes indeterminados veamos un ejemplo queremos factorizar no necesariamente sobre los enteros el siguiente polinomio
$${ t }^{ 8 }+98{ t }^{ 4 }+1$$
ahora hagamos lo siguiente
$${ t }^{ 8 }+98{ t }^{ 4 }+1=\left( { t }^{ 4 }+a{ t }^{ 3 }+b{ t }^{ 2 }+ct+d \right) \left( { t }^{ 4 }+k{ t }^{ 3 }+m{ t }^{ 2 }+nt+r \right) $$
esto se hace para que se factorize en dos polinomios resolviendo sistemas de ecuaciones y ya no se ve tan pesado el procedimiento que se llevaría a cabo para factorizarse como el producto de dos polinomios, para encontrar las constantes si se desarrollan las multiplicaciones correspondientes se tendría que
$$a+k=0$$
$$m+ak+b=0$$
$$n+ma+bk+c=0$$
$$2d+an+bm+ck=98$$
$$ad+bn+cm+kd=0$$
$$bd+cn+dm=0$$
$$d\left( c+n \right) =0$$
si se resuelven esas ecuaciones se puede factorizar, como una aclaración la forma mas fácil de factorizarse solo en este caso ya que como vemos se puede reducir a el caso de un polinomio cuadrático de la siguiente manera
$${ t }^{ 8 }+98{ t }^{ 4 }+1$$
$$\Rightarrow { t }^{ 4 }=s\\$$
$$\Rightarrow { s }^{ 2 }+98s+1$$
ahora para factorizarse solo se tiene que calcular las raíces por lo tanto
$$\Rightarrow { s }^{ 2 }+98s+1=0$$
$$s=-49\pm 20\sqrt { 6 }$$
$$\Rightarrow { s }^{ 2 }+98s+1=\left( s+49-20\sqrt { 6 }  \right) \left( s+49+20\sqrt { 6 }  \right)$$
$$\Rightarrow { t }^{ 4 }=s$$
$$\Rightarrow { t }^{ 8 }+98{ t }^{ 4 }+1=\left( { t }^{ 4 }+49-20\sqrt { 6 }  \right) \left( { t }^{ 4 }+49+20\sqrt { 6 }  \right) \\ $$
$$\Rightarrow { t }^{ 8 }+98{ t }^{ 4 }+1=\left( { t }-\sqrt { \sqrt { z }  }  \right) \left( t-\sqrt { -\sqrt { z }  }  \right) \left( t+\sqrt { \sqrt { z }  }  \right) \left( t+\sqrt { -\sqrt { z }  }  \right) \left( t-\sqrt { \sqrt { y }  }  \right) \left( t-\sqrt { -\sqrt { y }  }  \right) \left( t+\sqrt { \sqrt { y }  }  \right) \left( t+\sqrt { -\sqrt { y }  }  \right)$$
donde
$$-z=49-20\sqrt { 6 }$$
$$-y=49+20\sqrt { 6 }$$
lo que realmente trato de decir es que todas las ideas presentadas aquí pueden ser aplicadas una con otra y pueden complementarse entre si
por mi esto ha sido todo muchas gracias por su atención y le pido que nos siga y le de like a nuestra pagina de facebook