Demostracion de el pequeño teorema de fermat

hola en este dia demostrare una variante de el pequeño teorema de fermat mas adelante demostrare el teorema en general y el lemma de hensel por lo tanto vamos a ver cual es el pequeño ya que de esa manera lo demostraremos

$${\displaystyle n^p\equiv n(modp)dondepesunnumeroprimo}$$

como lo demostraremos por induccion tenemos que el primer caso es decir el caso n=2 es facil de probar ya que

$${\displaystyle 2^p\equiv 2(modp)}$$

lo cual implica que

$${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1(modp)}$$

pasando el 1 a el otro lado tenemos que

$${\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv 0(modp)}$$

por lo que implica que

$${\displaystyle p\mid 2^{p-1}-1}$$

es facil de probar lo anterior ya que

$${\displaystyle 2^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{k})}$$

lo cual implica

$${\displaystyle 2^{p-1}-1=\sum _{k=0}^{p-2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{k})}$$

hasta aqui solamente se ha demostrado el caso mas facil a continuacion se demostrara el teorema en la variante que presente, bien ahora como lo que implica el pequeño teorema de fermat es que

$${\displaystyle p\mid n^p-n}$$

usando induccion implica tambien que

$${\displaystyle p\mid (n+1{)}^p-(n+1)}$$

por lo que vamos a deducir la igualdad anterior empezando por

$${\displaystyle (n+1{)}^p=\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})n^k}$$

bien ahora pasando algunos terminos por un lado y acomodando un poco se tiene que

$${\displaystyle (n+1{)}^p-(n+1)=\sum _{k=1}^{p-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})n^k+(n^p-n)}$$

Por hipótesis, hemos supuesto que

$${\displaystyle p\mid n^p-n}$$

y dado que todos los términos del sumatorio del miembro de la derecha son divisibles por p, tenemos que 

$${\displaystyle p\mid (n+1{)}^p-(n+1)}$$

Ahora bien, 1^p - 1 es divisible por p, por lo tanto 2^p - 2 también es divisible por p, y así sucesivamente.

y esa ha sido la demostracion de el pequeño teorema de fermat, siganos en facebook si le busta mi trabajo de divulgacion matematica y muchas gracias por su atencion